2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) . (B) .(C) . (D) . [ ]【答案】【详解】用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵, , 则A与B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵, 则的秩为 .【答案】【详解】 依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1.4、(2007年数学一、二、三、四) 设线性方程组 ①与方程 ②有公共解，求a的值及所有公共解．【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组: ③若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵作初等行变换得: .于是1° 当a=1时，有=2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时，此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.2° 当a =2时，有=3，方程组③有唯一解, 此时，故方程组③的解为: , 即①与②有唯一公共解: 为.5、(2007年数学一、二、三、四) 设3阶对称矩阵Ａ的特征值 是Ａ的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由 得 , 进一步 , ，故 ，从而是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因, 及Ａ的3个特征值 得B的3个特征值为.设为B的属于的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此与正交, 即所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： ,其基础解系为: , , 故可取=, =.即B的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.(II) 令=, 则 ，得 ==.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则[ ] 则下列结论正确的是：(A) 不可逆，则不可逆. (B) 不可逆，则可逆.(C) 可逆，则可逆. (D) 可逆，则不可逆. 【答案】应选(C).【详解】，．故，均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为．故的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设，则在实数域上，与A合同矩阵为[ ](A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】 应选(D).【详解】则，记，则则，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，．则的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得．记，因线性无关，故是可逆矩阵．因此，从而．记，则与相似，从而有相同的特征值．因为，，．故的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵的特征值为．若行列式，则___________.【答案】应填．【详解】由，依据方阵行列式的性质，则有，即.又等于其特征值的乘积，即,得.6、（2008年数学三）设3阶方阵的特征值为1,2,2,为单位矩阵，则 .【答案】应填．【详解】由方阵特征值的性质，，则，故方阵的特征值分别为，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有.7、（2008年数学四）设3阶方阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为 .【答案】应填．【详解】由题可知，方阵的特征值含有，而其余两个非零，故的秩为.8、（2008年数学一）设为3维列向量，矩阵，其中分别是得转置．证明：（I） 秩；（II） 若线性相关，则秩．【详解】（I）【证法1】．【证法2】因为，为矩阵，所以．因为为3维列向量，所以存在向量，使得 于是 所以有非零解，从而．【证法3】因为，所以为矩阵．又因为，所以故 ．（II）【证法】由线性相关，不妨设．于是．9、(2008年数学一、二、三、四) 设元线性方程组，其中 ，，． （I）证明行列式；（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记以下用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得故 ．【注】本题（1）也可用递推法．由得，．于是（I）【证法2】消元法．记．（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为所以，．（III）【详解】 当时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为，其中为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，(I)证明线性无关；(II)令，求．【详解】(I)【证明】设有一组数，使得 ．用左乘上式，得．因为 , ，，所以 ，即．由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此，从而有．故 线性无关．（II）由题意，．而由（I）知，线性无关，从而可逆．故．三、2009年：1、（2009年数学一）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为. . . .【答案】A【解析】因为，则称为基到的过渡矩阵。
则由基到的过渡矩阵满足所以此题选.2、（2009年数学一、二、三）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为. . . .【答案】B【解析】根据，若分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆故答案为B.3、（2009年数学二、三）（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为. . . .【答案】 A【解析】，即：4、（2009年数学一）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 答案】2【解析】, 的非零特征值为2.5、（2009年数学二）设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 【答案】【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值是，而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则.6、（2009年数学三）设,，若矩阵相似于，则_____【答案】2【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0，0而为矩阵的对角元素之和，，.7、（2009年数学一、二、三）设，（Ⅰ）求满足的所有向量，（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关.【解析】（Ⅰ）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于 故 线性无关.8、（2009年数学一、二、三）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.【解析】（Ⅰ） （Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。
则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，，符合3) 若 ，即，则 ，，不符题意综上所述，故四、2010年：1、（2010年数学一）设为型矩阵，为型矩阵，为阶单位矩阵，若，则[ ]（A） 秩，秩. （B） 秩，秩.（C） 秩，秩. （D） 秩，秩.【答案】 【详解】 由于，故，又由，即，，再由题设可知，，，因此，可得选项（A）为正确.2、（2010年数学二、三）设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是[ ]（A） 若向量组线性无关，则. （B）若向量组线性相关，则.（C） 若向量组线性无关，则. （D）若向量组线性相关，则.【答案】 【详解】 由于，，又由题设，可由线性表示，故有，又线性无关，即，可知（A）为正确.3、（2010年数学一、二、三）设为4阶对称矩阵，且，若的秩为3，则A相似于[ ]（A）. （B）.（C）. （D）.【答案】 【详解】 由题设可知，4阶对称阵与对角阵相似，则必有4个特征值，且，又由，可知，即，，可得的特征值分别为，又，则可知（D）为正确.4、（2010年数学一）设，，，若由形成的向量空间维数为2，则 .【答案】 应填 0【详解】 由形成的向量空间维数为2，故可知向量组的秩，即，故通过初等行变换讨论矩阵的秩，判断参数的取值.,由于，故通过初等行变换后，矩阵的非零行个数应为2，则可知参数.5、（2010年数学二、三）设，为3阶矩阵，且，，，则 .【答案】 应填 3.【详解】 由，对上述等式两边同取行列式，得.6、（2010年数学一、二、三）设，，已知线性方程组有两个不同解，（I） 求，.（II）求方程组的通解.【解析】 （I）由题设可知，三元线性方程组有两个不同解，其解不唯一，即该非齐次线性方程组有无穷解，则根据非齐次线性方程组解存在性理论可知，.于是，对增广矩阵通过初等行变换讨论在的情况下，参数，的取值.。