福建省高校专升本 高等数学,,,,高等数学主要内容,A 三大概念 一.函数,极限,连续; 二.导数,微分,偏导数,全微分 三.积分,,,,,专升本,B 四大运算 一.求Lim 1. 2. 罗必塔法则 二.求 三.求,四.解微分方程,C.三大应用,一.导数的应用 1.函数单调性、极值，曲线凹凸性、拐点， 作图. 2.应用题.求Max,Min. 3.利用中值定理证明等式或不等式. 二.定积分的应用. 1.几何应用 2.物理应用 三.微分方程的简单应用,,,D.向量代数与空间解几简介,1.空间直角坐标系 2.向量代数初步 3.平面 4.空间直线 5.曲面与空间曲线 6.二次曲面,多做练习 方可熟能生巧 善于归纳 才能灵活应变,第一章函数,极限,连续,一.函数 (一)函数概念 1.函数定义 2.函数关系两要素: (1)对应关系f; (2)定义域D(f) 例,,求,,,,（08）下列函数中，定义域为,的函数是（ ）,（B）,（C）,（D）,（A）,（模C）,(二)函数特性,1.单调性 2.奇偶性 3.周期性 4.有界性,,,,例,偶函数,奇函数,,周期函数,,,（10）,（08） 是（ D ）,（A）,（B）,（C）单调增函数,（D）,奇函数,偶函数,非单调函数,（07） 均为奇函数， 则下列为偶函数的是 （ ）,（A）,（B）,（C）,（D）,（07）,eg,(三)反函数,1.反函数定义. 特点 2.举例,,,,,,,（05）,(四）复合函数,1.定义 2.分解标准-----分解到每一步都是基本初等函 数的和,差,积,商为止. 3.复合函数定义域求法,,,,,注意：并非任何两个函数都可以复合,,（03）,（07）,（08）,(五)基本初等函数 常用的有六类14个,,,,,,,,,,,,(六）初等函数由基本初等函数（）经过有限次的和,差,积,商运算，（）有限次的复合运算，（）且可用一个公式表示的函数. 非初等函数举例:,,二.极限,(一)极限定义,,,(二)性质,单调有界数列必有极限. 夹逼定理 3.,4.四则运算(有极限;有限个),(三)求极限,1.两个重要极限,,(06), (03),, (09),,(10),2.其他,举例,,,,,,,,,3.罗必塔法则,,三.无穷小.无穷大,1.定义 2.性质,,,,,,例题(性质),,,,,,,,3.无穷小阶的比较(教材P27),设,,,例题(阶比较), (05),,,,,（07）当,时，下列函数中能成为,的等价无穷小的是（ D ）,（B）,（C）,（D）,（A）,（09）,当 时，下列四组函数中为等价 无穷小的是 （ B ）,,（A）,（B）,（C）,（D）,4.等价无穷小代换定理(教材P27）,定理,,结论,例题(等价无穷小代换),,,,,四.连续与间断,(一)连续 1. 2.连续三要素,,,3.左右连续,,(二)间断点分类,第一类（ 都存在的间断点） (1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点 第二类（ 至少一个不存在的间断点） (4)无穷间断点 (5)振荡间断点,,,（07）,（模A）,eg,(三)闭区间上连续函数的性质,定理1 定理2 定理3(介值定理） （教材P3132) 定理4（根值定理）,（模B）,eg,（模C）,第二章导数与微分,一.导数的概念 1.定义 2.几何意义 3.左右导数 4.可导与连续的关系,,（10）,,二.求导数归纳,2.四则运算 3.反函数求导 例,,,,1.基本导数公式,,,,,,,,,,（04）,(06),4.复合函数求导,(10),(10)计算题,5.隐函数求导 显函数----- 隐函数-----,,,,,（09）,对数求导法,(1),,例,,,,,6.参数方程求导,(1) (2) (3) (4),,,,,(6)（09）,(5)（08）,7.高阶导数,例,,,,,,,,,,,例(高阶导数),,,,,,,8.分断函数求导,,,,,例题(分断函数求导),,讨论 在 的连续性； 讨论 在 的可导性； 求,,,,,,,,,,9.从定义求导,定义,,,例题(从定义求导),(05),,,,(10),则,2,（模B）,三.微分,(一)概念 1.定义 2.几何意义 3.微分两个特性 4.微分形式的不变性 (二)计算 1.公式 2.四则运算,第三章 中值定理.导数应用,一.中值定理 (一) Rolle Th 若,,,则至少,使,注意:(1)条件是充分条件; (2)条件不成立,结论未必成立.,例不求 的导数, 验证 必有根,,,,,验证,对,的正确性,Rolle Th, 不求 的导数, 说明 有几个实根,并指出 根所在区间.,,(10),(二)Lagrange Th,若,,,则至少,,使,推论:若在 则在,,例题(Lagrange Th),证明:,例题(Lagrange Th),验证 在 对 Lagrange Th 的正确性; 验证 在 对Lagrange Th 的正确性; 证明:对 ,恒有,,,,,,,,证明:当 恒有,,,(三)Cauchy Th,若,,,则至少,使,二.罗必塔法则,定理:若 则,,,罗必塔法则几种形式,例题(罗必塔法则),,,,,,,,,,,,注意,(1)只有 ,才可考虑用 Th (2)每次用 Th后,必须化简 不能断定 不存在, . 只能说明Th失效,,,,,（4）还原例子,例题(罗必塔法则),,（03）,,三.单调性.极值.凹凸.拐点.作图,(一)单调性 Def1 Th1,,例题(单调性),,,,,,,(10),讨论单调性,极值步骤,1.求 2.求驻点与不可导点 3.由两种点分D(f)为若干区间, 由 Th判别单调性,极值.,,例题(单调性证明不等式),,,,,,(二)极值,Def2. 定义在,,,,,在,例题(极值),,,求极值,求极值,,求极值,,极值判别法,在,可导,在 连续.,,,Th2,极值判别法,Th3,,极值存在的必要条件,Th4,,极值点可从驻点与不可导点找 1.可导函数的极值点 驻点 2.不可导点也可能取得极值,,举例,,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,(三)最大值.最小值,1.一般情况 只有一个极大(小)值 而无极小(大)值 则,,,,例题(最大值.最小值), ,,,例题(最大值.最小值),无盖圆柱形水池,体积定值V,底造价是侧面造价的2倍. 问:半径r=? 高度h=? 用费最省?,(四)凹凸.拐点,1.凹凸定义 2.凹凸判别 3.拐点判别 4.两种特殊情况,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.求 2.求使 与 不存在的点 3.由两种点分D(f)为若干区间, 由 Th判别曲线凹凸与拐点.,（10）,eg,eg,(五)渐近线.作图,1.水平渐近线 2.垂直渐近线 3.作图步骤 (1)求D(f),Z(f) (2)奇偶性、周期性 (3)单调性、极值 (4)凹凸性、拐点,,例,3.作图步骤 (5)渐近线 (6)特殊点 (7)描图,第四章 不定积分,4.1概念.性质 4.2换元积分法,4.3分部积分法,4.4几种特殊类型函数的积分,4.1概念.性质 一.原函数 Def1 若,,说明:1.,2.,,则称,二.不定积分,,不定积分的几何意义,Def2,,,三.基本积分公式P88,四.不定积分的性质,1. 2. 3. 4.,,例题,,,,,,,,,,,4.2换元积分法,换元积分法,,特点,,Th,(一)凑微分举例,1.形如,,,凑微分举例,2.,,,凑微分举例,3.,,,凑微分举例,4.,,,,凑微分举例,5.,,,凑微分举例,6.,,(二)特殊三角函数积分举例,换元积分法,Th,,特点,,类型,1.三角置换,,,,类型,2.含,,,,类型,3.,,,类型3(续),,4.3分部积分法,设,,类型,一.,,二.,三.,(分部2次,要移项),例题(分部积分法),,例题(分部积分法),,4.4几种特殊类型函数的积分,一.有理函数积分 1.有理真分式的分解,,2.待定系数(1)比较法；（2）代入法,例,3,有理真分式的积分,,例,,二.三角函数有理式的积分,1.万能置换,,则,,例题(万能置换),,2.凑微分,,三.简单无理函数的积分,,第五章 定积分,5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 5.3微积分的基本公式,5.4定积分的换元积分法,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,5.1定积分的概念 一.引例 1.曲边梯形面积 2.变速直线运动的路程 二.定积分的Def 注(1)2个有关; (2) 3个无关; (3),,注(4)充分条件,,三.几何意义,,5.2定积分的性质,,5.2定积分的性质,,例题(概念.性质) 1.比较大小. 2.估值.,,,5.3微积分的基本公式,一.变上限积分 二.牛顿-莱布尼兹公式,,,5.4定积分的换元积分法,注意：,1换元法实质： 换元同时换限 2遇到被积函数含有偶次根式， 注意取算术根,结论,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,一.积分区间为无穷的广义积分 二.被积函数含无穷间断点的广义积分,第五章 定积分,5.7定积分的元素法 5.8平面图形的面积 5.9体积 5.10平面曲线的弧长 5.11定积分的物理应用,定积分的几何应用 5.7 5.8 5.9 5.10,(一)一个量Q可用定积分计算的条件 (1)Q是a,b上的定量 (2)Q对a,b具有可加性 (3)x,x+dx上部分量 可近似表为,,,,简记为,,(二)元素法步骤,(1)建立坐标系,确定积分变量 (2)求 上部分量 的近似值 (3)定限积分求总量,,,,,,定积分的几何应用,一.平面图形的面积 二.体积 三.平面曲线的弧长,(模A)29.求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。
eg).求由曲线 与它的过原点的一条 切线及 轴所围成的平面图形的面积； 且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得 旋转体的体积03).(1)求曲线 在点 的切线方程； （2）由曲线、切线及 轴所围成的平面图形 的面积； （3）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得 旋转体的体积eg).求正劈锥的体积定积分的物理应用 5.11,一.变力作功,二.液体静压力,第七章.向量代数与空间解几,7.1 空间直角坐标系. 一.空间直角坐标系. 1.Def,,,八个挂限,点的坐标符号 1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-) 2.空间中点的坐标,,,二.空间两点间的距离,设点 则,,,7.2向量代数,一.向量概念 与 同方向的单位向量,二.向量加法,,,平行四边形法则,三角形法则,三.数乘向量,,7.2向量代数,四.向量在坐标轴上的投影 1.两向量夹角 2.向量在轴上的投影,,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦 点 向径 坐标表达式 分量表达式,,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦, 点 向量 坐标表达式 分量表达式,,向量的模,,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦 向量的方向余弦,,7.2向量代数,六.两向量的数量积 1.Def 性质,,,,,7.2向量代数,六.两向量的数量积 2.公式,,7.2向量代数,六.两向量的数量积 3.两向量的夹角,,例题(数量积),(1),,例题(数量积),(05) 单位向量 满足 则,,(3)(04),,,7.2向量代数。