试卷第 1 页，共 5 页专题专题 2.3 认识有理数（数轴）（知识梳理与考点分类讲解）认识有理数（数轴）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】第一部分【知识点归纳】【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴；【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素；【知识点三】数轴和画法：1、画一条直线（通常画成水平直线）；2、在直线上适当位置取一点为原点；3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来；4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3 ；在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3 【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设 a 为一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离为 a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离也为 a 单位长度；第二部分【题型展示与方法点拨】第二部分【题型展示与方法点拨】【题型 1】用数轴上的点表示有理数并比较大小（理解数形结合）【例 1】（23-24 七年级上吉林阶段练习）1在数轴上表示出下列有理数：并把它们从小到大的顺序用“”连接，2，132-，0，3，12，4-【变式 1】（2024辽宁大连模拟预测）2 如图，数轴上点 A，B 表示的数分别为 a，b，且ab，则,a bab-的大小关系为（）Abaab-Bbaab-Cbaab-Dbaab-【变式 2】（22-23 七年级上广东茂名期中）3有理数 a，b，c 在数轴上的大致位置如图所示，则将 a，b，c 从小到大排列为 【题型 2】数轴上两点之间的距离【例 2】（24-25 七年级上全国假期作业）试卷第 2 页，共 5 页4阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段23 1BC=-；线段312AB=-问题：(1)数轴上点 M、N 代表的数分别为 10 和 3，则线段MN=_；(2)数轴上点 E、F 代表的数分别为 3 和1-，则线段EF=_；(3)数轴上的两个点之间的距离为 5，其中一个点表示的数为 12，求另一个点表示的数【变式 1】（2024北京二模）5在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，3，将点 A 向左平移 1 个单位长度，得到点 C若COBO=，则 a 的值为（）A2-B1-C1D2【变式 2】（23-24 七年级下海南儋州阶段练习）6点 A、B 是数轴上的两点，且点 A 表示的数是4-，点 A 与点 B 之间的距离是 6，则点 B表示的数是 【题型 3】数轴上的动点问题【例 3】（23-24 七年级上江苏苏州阶段练习）7如图，在数轴上点 A 表示的数是 8，若动点 P 从原点 O 出发，以 2 个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点 Q 从点 A 出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为 t（秒）(1)当0.5=t时，求点 Q 表示的数；(2)当2.5t=时，求点 Q 表示的数；(3)当点 Q 到原点 O 的距离为 4 时，求点 P 表示的数【变式 1】（23-24 七年级上江苏无锡阶段练习）8数轴上的点 M 和点 N 分别表示3-与 4，如果把点 N 向左移动 6 个单位长度，那么点 N现在表示的数比点 M 表示的数（）A大 2B大 1C小 2D小 1【变式 2】（23-24 六年级下黑龙江哈尔滨期中）试卷第 3 页，共 5 页9如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是2:3时，点P表示的数是 【题型 4】由数轴上点的位置判断式子的符号【例 4】（23-24 七年级上湖南衡阳阶段练习）10有理数abc、在数轴上的位置如图 (1)把这0abcabc-，七个数用“”或“”填空：bc-_0ab+，_0ca+，_0abc，_0【变式 1】（2024陕西咸阳一模）11实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（）A2a CabDab-”“Bab=Cab(1)A、B 两点的距离为_个单位长度；线段AB的中点 M 所表示的数为_；(2)点 P 运动 t 秒后所在位置的点表示的数为_；点 Q 运动 t 秒后所在位置的点表示的数为_（用含 t 的式子表示）(3)P、Q 两点经过多少秒会相距 5 个单位长度？(4)在点 P、Q 运动过程中，O、P、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时 t 的值答案第 1 页，共 9 页1见解析；134213022-【分析】本题考查的是数轴和有理数的大小，解题的关键是掌握在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大先在数轴上表示出有理数，根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大比较大小即可【详解】解：44-=，在数轴上表示如下：113023422-2A【分析】本题主要考查了数轴，有理数的比大小观察数轴可得0ab，再由ab，可得0baab-，即可求解【详解】解：观察数轴得：0ab，ab，0baab-故选：A3abc【分析】本题考查数轴、利用数轴比较有理数的大小等知识根据“数轴右边的数始终大于数轴左边的数”即可作答【详解】解：观察数轴得，abc，故答案为：abc4(1)7(2)4(3)另一个点表示的数为 17 或 7【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键（1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（3）分两种情况讨论，当另一个点在表示 12 的点的右侧或当另一个点在表示 12 的点的左答案第 2 页，共 9 页侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可【详解】（1）解：数轴上点 M、N 代表的数分别为 10 和 3，则线段1037MN=-=，故答案为：7；（2）解：数轴上点 E、F 代表的数分别为 3 和1-，则线段313 14EF=-=+=，故答案为：4；（3）解：由题可得：当另一个点在表示 12 的点的右侧时，12517+=；当另一个点在表示 12 的点的左侧时，1257-=，综上，另一个点表示的数为 17 或 75A【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含 a 的式子表示出点 C 是解决本题的关键 先用含 a 的式子表示出点 C，根据COBO=列出方程，求解即可【详解】解：由题意知：A 点表示的数为 a，B 点表示的数为 3，C 点表示的数为1a-，COBO=Q，|1|3a-=，解得2a=-或 4，0a，点 Q 表示的数为0 1082+-=（3）解：点Q还没达到原点时，点Q运动的路程为844-=，414t=秒，点P表示的数为02 12-=-；点Q达到原点时，点Q运动的路程为8412+=，1234t=秒，点P表示的数为0236-=-，故点 P 表示的数为2-或6-8B【分析】本题考查了数轴上动点问题，有理数的减法的应用；先求出点N向左移动6个单位长度后表示的数，再根据有理数的减法法则计算即可【详解】解：NQ表示4，把点N向左移动6个单位长度后表示的数为462-=-，Q点M表示3-，23231-=-+=，即点N现在表示的数比点M表示的数大1，故选：B答案第 4 页，共 9 页926或70-#70-或26【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是2:3”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键【详解】解：在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是2:3，:2:3PA PB=，当点P运动到点A右侧时，()22501016253PAAB=-=+，此时点P表示的数是10 1626+=；当点P运动到点A左侧时，()2250132080PAAB=-=-，此时点P表示的数是108070-=-，综上所述，点P表示的数是26或70-，故答案为：26或70-10(1)0cabbac-(2)，【分析】（1）由数轴可得0abc且bac，由此即可得到答案；（2）由数轴可得0abc且bac，由此逐个判断即可得到答案【详解】（1）解：由数轴可得：0abc且bac，0cabbac-；（2）解：由数轴可得0abc且bac，0bc-，0ab+，0abc，故答案为：，【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出0abc且bac是解此题的关键11D【分析】本题考查了数轴与实数，数形结合即可求解【详解】解：根据数轴可知，32a-，12b答案第 5 页，共 9 页A.2a，故该选项正确，不符合题意；C.ab，故该选项不正确，不符合题意；故选：D12 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出abc、符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出abc、符号和大小是解题的关键【详解】解：由数轴可得，0cba，0ab，13(1)414-，(2)5，8(3)5 或 11【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题（1）根据题意利用观察即可得到本题答案；（2）根据题意利用两点间距离即可得到；（3）分情况讨论当点 A 在点 C 的左侧时和当点 A 在点 C 的右侧时，分别列式即可得到本题答案【详解】（1）解：由题意得：A 点对应的数为4-，B 点对应的数为 1，点 C 对应的数为 4，点 A，B，C 在数轴上表示如图：A 表示的数为4-，B 表示的数为 1，C 表示的数为 4，故答案为：414-，；（2）解：A 点对应的数为4-，B 点对应的数为 1，点 C 对应的数为 4，1(4)5cmAB=-=，4(4)8cmAC=-=，故答案为：5，8；（3）解当点 A 在点 C 的左侧时，设经过 x 秒后点 A 到点 C 的距离为 3cm，答案第 6 页，共 9 页由题意得：83x-=，解得：5x=；当点 A 在点 C 的右侧时，设经过 x 秒后点 A 到点 C 的距离为 3cm，由题意得：83x-=，解得：11x=，综上，经过 5 或 11 秒后点 A 到点 C 的距离为 3cm14C【分析】平移规律：向右加，向左减；据此即可求解【详解】解：设点 A 表示的数是x，所以4x=，当4x=时，437+=；当4x=-时，431-+=-；所以点 B 表示的数1-或 7；故选：C【点睛】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键153 或 7【分析】根据题意可得出点M在6-和6的时候与原点O的距离为6个单位长度，然后利用路程除以速度即可得出时间【详解】Q点M与原点O的距离为6个单位长度，点A表示的数为15-M在6-和6的时候与原点O的距离都为6个单位长度6159-=，6 1521+=，933=，21 37=，故答案为：3或7【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点M的位置16B【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键将1-在数轴上对应的点向右平移 2 个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数答案第 7 页，共 9 页【详解】根据题意：数轴上1-所对应的点向右平移 2 个单位，则此时该点对应的数是 1故选 B17C【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可【详解】解：由图可知，ab，故选：C【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键18(1)当0.5=t时，点Q到原点O的距离为 6(2)点Q到原点O的距离为 2(3)点P到点Q的距离为 6 或 10 或 22【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键（1）先计算出点 Q 运动的路程，即可解答；（2）先计算出点 Q 的运动路程，即可解答；（3）点Q向左运动 4 个单位长度，点Q向左运动 8。
