名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 1 判定以下关系是否正确〔1〕{a} {a}〔2〕{1，2， 3}＝ {3，2， 1}〔3〕 ≠{0}〔4〕0∈{0}〔5〕 ∈ {0}〔6〕 ＝ {0}分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 依据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素 0 的集合非空．例 2 列举集合 {1， 2， 3}的全部子集．分析 子集中分别含 1， 2，3 三个元素中的 0 个， 1 个， 2 个或者 3 个．解 含有 0个元素的子集有： ；含有 1 个元素的子集有 {1} ，{2}， {3}；含有 2 个元素的子集有 {1， 2}， {1， 3}， {2，3}； 含有 3 个元素的子集有 {1， 2， 3}．共有子集 8 个．说明：对于集合A，我们把 和A叫做它的平凡子集．例3 已知 {a ， b} A≠ {a ， b， c， d} ，就满意条件集合A 的个数为 ．分析 A 中必含有元素 a， b，又 A 是{a， b， c， d}真子集，所以满意条件的 A有： {a， b}， {a， b， c}{a， b， d}． 答 共 3 个．说明：必需考虑 A 中元素受到的全部约束．例4 设U为全集，集合M 、N ≠U，且N M ，就[ ]分析 作出 4 图形．答 选 C．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较便利． 第 1 页，共 44 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -点击思维例 5 设集合 A＝ {x|x ＝ 5－ 4a＋a2， a∈R}，B＝ {y|y ＝ 4b2＋ 4b＋ 2，b∈ R}，就以下关系式中正确选项[ ]A ．A＝ B B．A BC．A ≠ B D．A ≠ B分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x＝ 5－4a＋ a2＝ 〔2－ a〕2＋ 1≥ 1，y＝ 4b2＋ 4b＋ 2＝ 〔2b＋ 1〕2＋ 1≥ 1，所以它们的值域是相同的，因此 A＝ B．答 选 A．说明：要留意集合中谁是元素．M 与 P 的关系是[ ]A． M ＝ UP B． M ＝ PC．M ≠ P D．M P分析 可以有多种方法来摸索， 一是利用逐个验证 〔排除 〕的方法； 二是利用补集的性质： M ＝ UN＝ U〔 UP〕＝ P；三是利用画图的方法．答 选 B．说明：一题多解可以锤炼发散思维．例 7 以下命题中正确选项[ ]A． U〔 UA〕＝ {A} 第 2 页，共 44 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -B．如A∩B＝B，就A BC．如A ＝{1 ， ，{2}} ，就{2} ≠AD ．如A ＝ {1 ， 2， 3} ， B ＝ {x|x A}，就 A ∈ B分析 D 挑选项中 A∈ B 好像不合常规，而这恰恰是惟一正确的挑选支．∵D挑选支中，B中的元素，x A，即x是集合A的子集，而A的子集有 ， {1}， {2}， {3}， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {2 ， 3} ， {1 ， 2， 3} ，而 B是由这全部子集组成的集合，集合 A 是其中的一个元素．∴ A∈ B． 答 选 D．说明：挑选题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以留意．例 8 已知集合 A＝ {2， 4，6， 8，9}， B＝ {1， 2，3， 5，8}，又知非空集合 C 是这样一个集合： 其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集； 如各元素都减 2 后， 就变为 B 的一个子集，求集合 C．分析 逆向操作： A 中元素减 2 得 0， 2，4， 6，7，就 C 中元素必在其中； B 中元素加 2 得 3， 4， 5， 7， 10，就 C 中元素必在其中；所以 C 中元素只能是 4 或 7．答 C＝ {4}或{7}或 {4， 7}．说明：逆向思维才能在解题中起重要作用．例 9 设 S＝{1， 2，3，4}，且 M ＝{x∈ S|x 2－ 5x＋ p＝ 0}，如 SM ＝ {1，4}，就 p＝ ．分析 此题渗透了方程的根与系数关系理论，由于 SM ＝ {1， 4}，且M ≠ S，∴ M ＝ {2， 3}就由韦达定理可解． 答 p＝ 2×3＝ 6．说明：集合问题经常与方程问题相结合．例 10 已知集合 S＝{2， 3， a2＋2a－ 3}， A＝ {|a ＋ 1| ， 2}， SA＝{a＋ 3}，求 a的值．S 这个集合是集合 A 与集合 SA 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要留意元素的互异性及分类争论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知 a 应满意 第 3 页，共 44 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -a＋ 3＝ 3 ①|a＋ 1|＝ a 2 ＋ 2a－ 3 ②〔1〕 a 2 ＋ 2a－ 3≠ 2 ③a 2 ＋ 2a－ 3≠ 3 ④或 〔2〕a＋ 3＝ a 2 ＋ 2a－ 3 ①|a＋ 1|＝ 3 ②a2 ＋ 2a－ 3≠ 2 ③a2 ＋ 2a－ 3≠ 3 ④在〔1〕中，由①得 a＝0 依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在〔2〕中， 由①得 a＝－ 3，a＝ 2，分别代入②③④检验， a＝－ 3 不合②， 故舍去，a＝2 能满意②③④．故 a＝ 2 符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例11 〔1993年北京高考题〕 集合M ＝ {x|x ＝ kπ2π＋ 4 ，k∈Z} ，N＝{x|x＝kπ π＋，k∈Z} 就4 2[ ]A． M ＝ NB ．M ≠ NC． M ≠ ND． M 与 N 没有相同元素分析 分别令 k＝ ，－ 1，0， 1， 2， 3， 得M ＝{π，－ ，π 3π，5π 7π， ， ， } ，4 4 4 4 4π π 3π 5πN＝{， ， ，4 2，π， ， } 4 4易见， M答 选 C．≠ N．说明：判定两个集合的包含或者相等关系要留意集合元素的无序性 第 4 页，共 44 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -典型例题一例 1 以下图形中，满意唯独性的是（ ）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面 C．过平面外一点与平面平行的直线 D．过一点作已知平面的垂线分析： 此题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的精确懂得是解此题的关键．要留意空间垂直并非肯定相关．解： A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作很多条．事实上这很多条直线仍在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作很多个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任始终线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有很多条．D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点 A 、平面 ，过点 A 有两条直线 AB 、 AC 都垂直于 ，由于 AB 、 AC 为相交直线，不妨设 AB 、 AC 所确定的平面为， 与 的交线为 l ，就必有 ABl ， ACl ，又由于 AB 、 AC 、 l 都在平面 内，这样在 内经过 A 点就有两条直线和直线 l 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相冲突．应选 D．说明： 有关“唯独性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯独性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯独性”命题，在空间作图题中经常用到．典型例题二例 2 已知以下命题：（1）如始终线垂直于一个平面的一条斜线， 就该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线相互平行；（3）如平面外的两条直线，在这个平面上的射影相互垂直，就这两条直线相互垂直；（4）如两条直线相互垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，就这两条直线在这个平面上的射影相互垂直．上述命题正确选项（ ）．A．（1 ）、（ 2） B．（2）、（ 3） C．（ 3）、（ 4）分析： 此题考查的三垂线定理及其逆定理的简洁应用．D．（ 2）、（ 4）应用这两个定理时要特殊留意“平面内”这一条件，同时要留意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不肯定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判定垂直关系；（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行； 第 5 页，共 44 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3 ）依据三垂线定理可证明直线与另始终线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）依据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 应选 D．说明：（ 3）中如始终线与另始终线的射影垂直， 就有另始终线必与这始终线的射影垂直． 如在正方体ABCDA1B1C1 D1 中，E、F分别为棱AA1 和 BB1 上的点， G 为棱 BC 上的点，且EF BB1 ，FC1EG ，求D1FG．典型例题三。