北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 成才之路成才之路 · 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 · 选修选修2-1 常用常用逻辑用用语第一章第一章 1.4 逻辑联结词“且且”“或或”“非非” 第一章第一章 知识要点解读知识要点解读2预习效果检测预习效果检测3课堂典例讲练课堂典例讲练4课课 时时 作作 业业6易混易错辨析易混易错辨析5课前自主预习课前自主预习1 课前自主预习课前自主预习 1．“且”“或”命题与真假判定概念判断且一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作______，读作“________”当p、q都是真命题时，p∧q是________；当p、q两个命题中至少有一个命题是假命题时，p∧q是________或一般地，用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作“________”当p、q两个命题中至少有一个是真命题时，p∨q是________；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是________p∧qp且q真命题假命题p∨qp或q真命题假命题 2.命题p的否定¬p(1)“非”命题的表示及读法对 命 题 p加 以 否 定 ， 就 得 到 一 个 新 的 命 题 ， 记 作“________”，读作“________”或“p的否定”．(2)含有“非”的命题的真假判定p¬p真________假________¬p非p假真 知识要点解读知识要点解读 1．逻辑联结词“且”与自然语言中的“并且”、“和”相当．“或”与自然语言中的“或者”、“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．“非”与日常生活中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”相近．而“非”命题，就是对命题的否定．2．在判断三种形式的新命题的真假时，要熟练运用“至少”、“最多”、“同时”、以及“至少有一个是(不是)”、“最多有一个是(不是)”、“都是(不是)”、“不都是”这些词语． 3．通过实例去理解“且”、“或”、“非”的含义．对“且”的理解，可联想“交集”的概念．A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，逻辑联结词中的“且”的含义与“交集”中的“且”的含义是一致的．对“或”的理解，可联想“并集”的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的．对“非”的理解，可联想“补集”的概念，若将命题p对应集合P，则命题非p就对应集合P在全集U中的补集∁UP. 4．在判断复合命题真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：(1)“非p”形式的复合命题的真假与命题p的真假相反．(2)“p或q”形式的复合命题只有当命题p与q同时为假时才为假，否则为真．(3)“p且q”形式的复合命题只有当命题 p与q同时为真时才真，否则为假． 真值表pqp或qp且q非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真 预习效果检测预习效果检测 1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( )A．“p或q”形式的命题B．“p且q”形式的命题C．“非p”形式的命题D．以上均不正确[答案] B[解析] 相等且平分包含两个同时成立的结论，所以它是p且q形式的命题． 2．如果命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，那么( )A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同[答案] B[解析] ¬p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，∴q为真命题． 3．“x不大于y”是指( )A．x≠y B．x＜y或x＝yC．x＜yD．x＜y且x＝y[答案] B[解析] “不大于”是指“小于或等于”． [答案] B[解析] 由题意知，p假q真，只有B满足． 5．命题p：a2＋b2＜0(a、b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析] 因为p为假q为真，所以“p∧q”为假；“p∨q”为真；“¬p”为真；“¬q”为假． 课堂典例讲练课堂典例讲练 将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：(1)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；(2)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．[解析] (1)p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分，由于p是真命题，q是真命题，所以p∧q是真命题．(2)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，由于p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题．p∧q命题 [总结反思] 判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断． 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假．(1)(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；(2)函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，并且不等式x2＋x＋2＜0无解． [解析] (1)此命题为“p且q”形式的命题，其中p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除，其中p为真命题，q为真命题，所以“p∧q”为真命题．(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2＜0无解．因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题． 分别指出下列命题的构成形式及命题的真假：(1)相似三角形的面积相等或对应角相等；(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．[解析] (1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形的面积相等；q：相似三角形的对应角相等．因为p假、q真，所以p∨q为真命题．p∨q命题 (2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.因为命题q是真命题，所以命题p∨q是真命题．(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.因为命题p，q都是假命题，所以命题p∨q是假命题． [总结反思] 为判断p∨q形式命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为有真则真，全假为假． 对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假．(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．(3)p：π是整数，q：π是分数． [解析] (1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题．(2)p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．(3)p∨q：“π是整数或分数”，即“π是有理数”，是假命题． ¬p命题 [总结反思] ¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命相反．对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”等． 写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.[解析] (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)∃m、n满足m2＋n2＝0，但实数m、n不全为零．(3)∃xy＝0，但x≠0且y≠0. (2013·临沂高二检测)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值围．[分析] 此条件涉及方程的根的问题，可考虑用判别式及根与系数的关系求解．“p或q”、“p且q”的真假已知，故可根据含联结词的命题真假的判断规律，判断出p、q的真假．用逻辑联结词求参数的范围 [总结反思] 1.根的分布已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况求参数的范围时，一般要从两个方面分析：(1)判别式．(2)根与系数的关系，如本例利用x1＋x2＜0的情况．2．重视命题真假的判断规律对于含有联结词的命题的真假的判断，要根据“p且q”、“p或q”的真假判断p、q的真假，如本例就是由“p或q”为真，“p且q”为假，判断出p、q一真一假．3．分类讨论的意识在解决问题时，当出现不同情况时要注意分类讨论． 若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出非p.若非p是假命题，则a的取值范围是什么？[分析] 利用二次函数图像的对称轴与区间的位置关系，结合p与非p的真假相反来求解．[解析] 非p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．因为非p为假命题，所以p为真命题．故－(a－1)≥4.所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]． 易混易错辨析易混易错辨析 [正解] (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．[迷津点拨] (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件． 课课 时时 作作 业业（点此链接）（点此链接） 。