第二十二章 选修4系列§22.1 矩阵与变换高考数学高考数学 1.矩阵的概念在数学中,我们把形如 , , 这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵(matrix).记法:矩阵通常用大写的黑体拉丁字母来表示,比如A,B,C,…或(aij)(其中i,j分别为元素aij所在的行和列).矩阵相等:设有两个矩阵A,B,如果它们适合如下条件:(1)A与B的行数与列数分别相等;知识清单 (2)A与B对应位置的元素也分别相等.则称A与B相等并记为A=B.说明:如果A=(aij)m×n中行数与列数相等,即m=n,比如 ,则称A为m阶方矩阵或m阶方阵.方阵在矩阵理论中占有重要的地位.2.矩阵乘法定义一般地,我们规定行矩阵[a11,a12]与列矩阵 的乘法规则为[a11,a12] =[a11b11+a12b21],二阶矩阵 与列矩阵 的乘法规则为 =① . 说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.一般地,对于平面上的任意一个向量P= ,若按照对应法则T,总能对应唯一的一个向量P'= ,则称T为一个变换(transformation),简记为:T:(x,y)→(x',y')或T: → .3.几种常见的平面变换恒等变换:对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 对应的变换,都把自己变成自己.因此,我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵,所实施的对应变换称作恒等变换. 伸压变换:像 , (m,n≠0,|m|,|n|≠1),…这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称作沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.反射变换:像 , , ,…这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称为反射变换矩阵,相应的变换称为反射变换. , 对应于轴反射, 对应于中心反射.旋转变换:矩阵 通常叫做旋转变换矩阵,对应的变换称作旋转变换,其中的角θ叫做旋转角. 投影变换:像 , ,…这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的变换矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应的变换称作投影变换.切变变换:矩阵 把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移|ky|个单位;当ky>0时,沿x轴正方向移动;当ky<0时,沿x轴负方向移动;当ky=0时,原地不动.上述这种变换通常叫做切变变换,对应的矩阵叫做切变变换矩阵.4.矩阵的逆矩阵有的变换能够“找到回家的路”,称为原变换的逆变换,逆变换也对应着一个矩阵.但并不是所有的二阶矩阵A,都存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E.定义:若二阶方阵A、B满足②AB=BA=E(E为二阶单位矩阵),则称A是可 逆的.B为A的逆矩阵,记为A-1,B=A-1.说明:(1)若B为A的逆矩阵,则A同时也为B的逆矩阵,即A=B-1,所以(A-1)-1=A;(2)若二阶矩阵A存在逆矩阵,则逆矩阵唯一.5.二元一次方程组与二阶行列式关于x,y的二元一次方程组 (1)方程组的解的分母是系数矩阵 的主对角线上的数的乘积减去副对角线上的数的乘积.(2)二阶行列式的定义:我们把 称为二阶行列式,它的运算结果是一 个数值或多项式,记为:det A= =③ ad-bc .则方程组的解的分母就是 ,再将 记为D, 记为Dx, 记为Dy,所以方程组的解为 6.二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使得Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量. (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上,这时特征向量或者方向不变(λ>0),或者方向相反(λ<0),特别地,当λ=0时,特征向量就被变成了0.(3)特征多项式设λ是二阶矩阵A= 的一个特征值,它的一个特征向量为α= ,则A =λ ,即 满足二元一次方程组 故 (*)由特征向量的定义知α≠0,因此x,y不全为0,若要上述二元一次方程组有 不全为0的解,则必须有D=0,即 =0.定义:设A= 是一个二阶矩阵,λ∈R,我们把多项式f(λ)= =λ2-(a+d)λ+ad-bc称为A的特征多项式.(4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A的特征值,则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根,它满足f(λ)=0.此时,将λ代入二元一次方程组(*),就可以得到一组非零解 ,于是,非零向量 即为A的属于λ的一个特征向量. 求解逆矩阵求解逆矩阵求逆矩阵常用的三种方法:(1)待定系数法:设A是一个二阶可逆矩阵 ,则AA-1=A-1A=E(E为单位矩阵).(2)公式法: =ad-bc,记为det A,有A-1= (当且仅当det A=ad-bc≠0时可用).(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵.方法技巧方法1 例1 (2017江苏南通中学期中)设矩阵A= 的逆矩阵为A-1,矩阵B满足AB= ,求A-1,B.解析 因为A= ,所以|A|= =-7+6=-1.由逆矩阵公式得,A-1= .因为AB= ,所以B=A-1AB= = . 矩阵变换的应用矩阵变换的应用利用矩阵求曲线方程或图形中相关点的坐标,再利用曲线或图形的性质求解相关问题.例2 (2017江苏苏北四市摸底考试)求椭圆C: + =1在矩阵A= 对应的变换作用下所得的曲线的方程.方法2解析 设椭圆C上的点(x1,y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x,y).则 = = ,则 代入椭圆方程 + =1,得x2+y2=1.所以所求曲线的方程为x2+y2=1. 。