微分几何复习提纲 1、(1) 熟练掌握向量函数在一般向量运算下的运算规则，不同运算的混合运算，如数量积、向量积与线性运算的混合(P9－10)，数量积、向量积与求导运算的混合，线性运算与求导运算的混合，数量积、向量积、线性运算与求导运算的混合(P19 的定理 2.1) (2) 向量函数的特定性质(P19 的定理 2.2) (3) 标架与坐标系的区别与联系，坐标变换与刚体运动的关系，刚体运动的几何特点 2、(1) 掌握正则参数曲线的正则性的判定，参数曲线的光滑性与直角坐标系下光滑性的关系，正则参数曲线在局部意义下的表示与隐函数定理 (2) 正则参数曲线是弧长参数的充要条件，曲率、挠率的计算(弧长参数和非弧长参数两种情形)，Frenet 标架的构成要素及其关系、有关术语 (3) Frenet 标架的运动公式——Frenet 公式的矩阵形式，曲线论基本定理的主要内容 (4) 平面曲线的相对曲率与 Frenet 公式 3、(1) 清楚正则参数曲面参数曲线网的概念，掌握正则性概念与判定，曲面的定向；容许参数变换下切向量的转换关系，保持定向的条件 (2) 正则参数曲面的切向量的各种表示、切空间和自然标架；第一基本形式的概念与几何意义， 第一类基本量在容许参数变换下的不变性含义； 曲面上曲线弧长和曲面片的面积在容许参数变换下的不变性。
(3) 曲面上正交参数曲线网的存在性 (4) 曲面间的映射和诱导切映射表示，保长、保角对应的判定与关系 (5) 特殊直纹面(柱面、锥面)的参数方程，可展曲面的几何直观与判定 4、(1) 第二基本形式的概念与几何意义，第二类基本量在容许参数变换下的不变性含义； (2) 曲面法曲率的定义和常见曲面法曲率的计算，渐近曲线的定义、渐近曲线网的充要条件 (3) Weingarten 映射与主曲率的关系，主曲率、主方向的计算，曲率线概念、曲率线网正交的充要条件，平均曲率、Gauss 曲率和主曲率的关系 (4) Gauss 曲率与曲面上点的分类，近似曲面的计算 (5) 极小曲面的概念 5、 (1) 自然标架的运动公式(Gauss 公式和 Weingarten 公式)和张量记号的和式规则，Christoffel 记号的指标升降规则 (2) 两个基本形式的相容性条件——Gauss‐Codazzi 方程与曲面光滑性的关系；曲面论基本定理的主要内容；Gauss 定理和内蕴几何的基本含义 6、(1) 曲面上曲线的正交标架场的构成，运动公式与测地曲率、测地挠率的基本计算公式；测地曲率的几何解释 (2) 曲面上测地线的概念和存在性 。