等价：存在可逆矩阵P, Q ，使PAQB ，则 A 与B 等价；相似：存在可逆矩阵 P ，使P 1 APB ，则 A 与 B 相似；合同：存在可逆矩阵 C ，使 C T AC B ，则 A 与 B 合同.一、相似矩阵的定义及性质定义 1 设A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P ，使 P 1 APB ，则称 B 是 A 的相似矩阵，或说矩阵 A 与 B 相似，记为A ~ B . 对 A 进行运算P 1 AP称为对 A进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵 .注 矩阵相似是一种等价关系 .（ 1）反身性： A ~ A .（ 2）对称性：若 A ~ B ， 则 B ~ A .（ 3）传递性：若A ~ B ， B ~ C ，则A ~ C .性质 1 若 A ~ B ，则（ 1） AT~ BT ；（ 2） A1 ~ B 1 ；AEBEAB ；（ 3） ；（ 4）（ 5）R( A)R(B) .1推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 2相似，则1, 2 ,, n 是 A 的 n 个n1特征值 .性质 2 若 APBP，则 A 的多项式( A)P ( B) P 1 .推论 若 A 与对角矩阵 相似，则1( 1 )( A)P ( )P P( 2 )P .1( n )注 （ 1）与单位矩阵相似的只有它本身；（ 2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似 .二、矩阵可对角化的条件对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P ，使对角化。
P 1 AP为对角阵，就称为把方阵 A定理 1 n 阶矩阵 A可对角化（与对角阵相似） A有 n 个线性无关的特征向量推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角阵相似 . （逆命题不成立）注：（ 1）若 A ～ ，则 的主对角元素即为 A 的特征值，如果不计 i 的排列顺序，则 唯一，称之为矩阵 A 的相似标准形 2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的向量构成把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵， 它们一定可以对角化 . 即存在可逆矩阵 P ，使得P 1 AP .更可找到正交可逆矩阵 T ，使和T 1 AT定理 2 实对称矩阵的特征值为实数定理 2 的意义：因为对称矩阵 A 的特征值 1 为实数，所以齐次线性方程组( A i E) x 0 是Ai E实系数方程组 又因为 0 ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系， 从而对应的特征向量可以取实向量定理 3：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量正交定理 4： A为 n 阶实对称矩阵， 0 是 A 的 k 重特征值，则对应于 0 的特征向量中，线性无关的个数为 k ，即 ( A0 E) X0 的基础解系所含向量个数为 k 。
定理 5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一 n 阶实对称矩阵 A ，一定存在 n 阶正交矩阵 T ，使得的 n 个特征值为对角元素的对角阵T 1 AT其中 是以 A定义 2 若二次型 fx T Ax ，则对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵 A的二次型 . 对称矩阵 A 的秩就叫做二次型 f 的秩 .推理 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的特征值全为正 .定理 3 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式都为正，即a11a110 ，a21a12a22a11a1n0 ，,0 ；an1ann对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正1. 设 A 为正定阵，则 AT , A 1 , A* 均为正定矩阵；2. 设 A, B 均为正定矩阵，则 A B 也是正定矩阵 .四、如果 n 阶矩阵 A 与 B 相似，那么 A 与 B 的特征值相同吗？答 一定相同因为它们有相同的特征多项式证明A 与 B 相似，即存在可逆矩阵P ，使 P1 APB ，BEP 1 APP1 (E)PP 1 ( AE) PP A1EAE但务必注意：1. 即使 A 与 B 的特征值都相同， A 与 B 也未必相同。
2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同五、判断矩阵 A 是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法1） 判断 A 是不是实对称矩阵，若是一定可对角化2） 求 A 的特征值，若 n 个特征值互异，则 A 一定可对角化3） 求 A 的特征向量，若有 n 个线性无关的特征向量，则 A 可对角化，否则不可对角化4） 方阵 A 可对角化的充要条件是 A 的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数一般来说，常用方法（ 2）和（ 4），且（ 2）中的条件仅仅是充分的六、已知 n 阶方阵 A 可对角化，如何求可逆矩阵 P ，使得 P1 APdiag ( 1, 2 ,, n ) ?答 若 n 阶方阵 A 可对角化时，则求可逆矩阵 P 的具体步骤为：（1）求出 A的全部特征值1, 2 ,, s ；（ 2）对每个i (1 is) ，求齐次方程组( A i E) x0 的基础解系，得 n 个线性无关的特征向量1 , 2 , n ；（3）令 P( 1 , 2 ,, n ) ，则 P1 APdiag ( 1 , 2 ,, n ) ，其中1 , 2 ,, n 为1 , 2 ,, n 对应的特征值。
七、对于实对称矩阵 A，如何求正交矩阵 P ，使P 1 AP 为对角阵？答 若 A 为 n 阶实对称矩阵，则一定存在正交阵 P ，使出正交矩阵 P P 1 AP 为对角阵可按以下步骤求（1）求出方阵 A 的全部特征值1 , 2 ,, s ，其中重根数分别为k1 , k2 ,,k s 2 ） 对 每 一 个 i 求 出 齐 次 线 性 方 程 组( A i E) x0 的 基 础 解 系i 1,i 2 ,, ik ,i1,2,, s3） 将i1 ,i 2 ,, ik ,i1,2,, s正交化（若 ki1，则只须单位化）得正交单位特征向量组：p1 ,p 2 ,pn 令 P ( p1 , p 2 , , pn )（4） P11 AP 2，其中 是特征向量pi 所对应的特征值九、如何判断一个二次型 fnxT Ax 是正定的？答 判别二次型 f（1） 用定义，x T Ax 正定性的方法通常有（2） f 的标准形中的 n 个系数全为正，（3） 对称矩阵 A 的特征值全大于 0，（4） 正惯性指数 p n ，（5） 计算矩阵 A 的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于 0。
十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？ 答 如果存在可逆矩阵 P ，使，则称矩阵 A 与 B 合同合同关系是一种等价关系， 矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：如果矩阵 A 与矩阵 E 合同，则 A 为正定矩阵1合同与矩阵相似是有区别的， 矩阵 A 与 B 相似， 则存在可逆矩阵 P ，使 P 1 APB 显然，若 P 为正交矩阵，则 PTP ，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出：如果 A 为 n 阶实对称矩阵， 则存在正交矩阵 P ，使合同P 1 AP，此时 A 与 相似， A 与。