一、准则I 第一重要极限,二、准则II 第二重要极限,*三、柯西极限存在准则,一、准则I 第一重要极限,准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件,(1) 从某项起，即 n0 N，当 n n0 时，有,(2),yn xn zn ，,那么数列 { xn } 的极限存在，且,准则I可以推广到函数的情形.,准则I' 如果,(1) 当,(或 | x | M)时，,g(x) f(x) h(x) ，,(2),那么,存在，且等 A .,准则I及准则I'称为夹逼准则.,第一重要极限,函数,的图形如下：,例1,求,例2,求,例3,求,例4,求,,,,,,代表相同的表达式,例5,求,例6 设 ai 0 (i =1, 2, … , m), A= max{a1 ,a2 ,…, am},,证明,二、准则II 第二重要极限,数列的单调性,如果数列 { xn } 满足条件,x1 x2 … xn xn+1 … ,,则称数列 { xn } 是单调增加的；,如果数列 { xn } 满足条件,x1 x2 … xn xn+1 … ,,则称数列 { xn } 是单调减少的.,单调增加和单调减少的,的数列统称为单调数列.,例如，数列,是单调增加的，,其几何意义如,下图所示.,从图中可以看出，,一般项 xn 随 n 的增大而增大，,但,不论项 xn 如何增大，,总有 xn 1 .,而我们已知道该数,的极限存在，且为 1 .,又如，数列,是单调减少的，,其几何意义如,下图所示.,从图中可以看出，,一般项 xn 随 n 的增大而减小，,但,不论项 xn 如何减小，,总有 xn 1 .,而我们已知道该数,的极限存在，且为 1 .,从这两个例子，我们发现这样一个事实：,如果数列 { xn } 单调增加，且 xn M (即有上界),,则该数列的极限存在；,如果数列 { xn } 单调减少，且,xn M (即有下界),,则该数列的极限存在.,这一发现不是偶然的，事实上，我们有,准则II 单调有界数列必有极限.,证明略.,第二重要极限,e为自然对数的底，e2.718281828,,在上式中，令,则得,第二重要极限公式适用的范围：,(1) 函数为幂指函数(底和指数均为x的函数)；,(2) 底的极限为1，指数的极限为 .,例7,求,例8,求,,,,,,代表相同的表达式,,,,,代表相同的表达式,,*三、柯西(Cauchy)极限存在准则,柯西极限存在准则 数列 { xn } 收敛的充分必要条,件是：,对于任意给定的正数 ，,存在着这样的正整数N,使得当 m N , n N 时，就有,| xn – xm | .,证明略.,。