1导数典型错误例析舞阳二高 高广伟导数是高中数学限选知识中一个重要知识块，应用广泛，尤其是利用导数求函 数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但在教学过程中，发现导数的应用 还存在许多误区一、错误理解导数定义例 1. 已知函数，求错解：因为剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数函数在某一点处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量 的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x 必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是，等二、没有准确理解为极值的充要条件例 2. 函数在处有极值 10，求 a、b 的值2错解：，由题意知，且即，且解之得或剖析：错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件，为极值的充要条件是且附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：当时在附近两侧的符号相反，当时，在附近两侧的符号相同，所以舍去∴（时，的图象见下面左图，时，的图象见下面右图3三、函数的单调区间不完整例 3. 求函数的单调增区间错解：由题意得又因为函数的定义域是所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，）剖析：错解错在对函数在处是否连续没有研究，显然函数在处是连续的，所以函数的单调递增区间是。
函数的图象见下图）对于 （或）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能 草率下结论四、没搞清函数单调的充要条件例 4. 已知函数在内单调递减，求实数 a 的取值范围错解：，由函数在内单调递减知在内恒成立即在内恒成立因此4剖析：错误的主要原因是由于对函数在 D 上单调递增（或递减）的充要条 件是（或）且在 D 任一子区间上不恒为零没有理解而当时在恒成立，所以不符合题意，舍去五、求函数的最值时没有考虑函数的不可导点例 5. 求在上的最大值和最小值错解：由题意得令得∴当和 3 时，函数的最大值是当时，函数的最小值是 1剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函 数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：∴当和 3 时，函数的最大值是当或 2 时，函数的最小值是 0函数的图象如图六、求函数的极值时没有考虑函数的不可导点5例 6. 求在上的极值错解：由题意得令，得当时，在附近两侧的符号相反，左正右负∴，是函数的极大值点剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函 数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。
所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为：经计算，在附近两侧的符号相反，左负右正在附近两侧的符号相反，左负右正和是函数的两个极小值点∴函数的极大值为极小值为（函数的图象见上图）。