第四章手拉手模型模型手拉手图① 图② 图③如图，△ABC是等腰三角形、△*£>£•是等腰三角形，AB=AC. AD=AE. ZBAC=Z DAE= a.结论：连接BCE,则有△ BAD^/XCAE.模型分析如图①，ZBAD=ZBAC-ZDAC, ZCAE= ZDAE- ADAC.,： ZBAC=ZDAE= a,:.ZBAD=ZCAE.在△84和中，AB = AC,< /BAD = UCAE, AD = AE,图②、图③同理可证.（1） 这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时, 始终存在一对全等三角形.（2） 如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰 三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型.（3） 手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为儿何综合题目出现.模型实例例1如图，zMOC与△EOG都为等腰直角三角形，连接AG、CE,相交于点H,问:（1） AG与CE是否相等？（2） AG与CE之间的夹角为多少度？/解答：(1) AG=CE.理由如下：V ZADG= ZADC+ ZCDGf ZCDE= ZGDE+ZCDG, ZADC= ZEDG=9Q。
ZADG=ZCDE.在△AQG和△COE中,AD = CD,、ZADG = ZCDE, DG = DE,:.AADE^ACDE.:.AG=CE.(2) VAADG^ACDE,・.・ ZDAG= ZDCE.V ZCOH= ZAOD.:.ZCHA=ZADC=90°.・.・AG与CE之间的夹角是90例2如图，在直线AB的同一侧作△A8D和△BCE, △A8D和△3CE都是等边三角 形，连接AE、CD,二者交点为H.求证：(1) △ABE^WBC；(2)(3)(4)(5)(6)AE=DQ；ZDHA = 60°；△AGB£/\DFB；△EGB£/\CFB；连接 GF, GF//AC；连接HB, HB平分ZAHC.(7)证明：(1) ZABE=120°, ZCBD= 120°, 在△ABE和△O3C中，BA = BD,ZABE = ZDBC,BE = BC,「• △ABE#^DBC.(2) ,： 4ABE24DBC, :.AE=DC.(3) △ABE£3BC,F为AB延长线上一点，点E在上，且AECAAZ1 = Z2.:WDGH= ZAGB.・・・NOH4=N4=604) V Z5= 180°- Z4- ZCBE= 60°,・.・ Z4=Z5.... /\ABE£/\DBC,AZ1 = Z2.又 \9AB=DBf:.(ASA).(5) 同(4)可证△ EGBW^CFB (ASA).(6) 如图①所示，连接GF.由(4)得，4AGB£4DFB.••・BG=BF.又 VZ5=60°,：4BGF是等边三角形..e.Z3=60°..\Z3 = Z4. 图①:.GF//AC.(7) 如图②所示，过点B作BMLDC于过点B作BN_LAE于点N.・.• /XABE 竺 mBC,:・SmBE=S4DBC・:XAEXBN=- XCDXBM. 2 29：AE=CD,・・・BM=BN...•点B在ZAHC的平分线上.・・・HB平分ZAHC.练习：1. 在AB=CB, ZABC=90°f= CF.(1) 求证：BE=BF；(2) 若ZCA£= 30°,求ZACF度数.答案：(1)证明：ZA8C=90o.在 Rt/XABE 和 Rt A CBF 中，CF = AE,AB = CB,ARtAABE^RtACBF (HL).:.BE=BF,(2) *：AB=CB. ZABC= 90°,:.ZBAC=ZBCA=45°.・・・NC4E=30°..•.ZBAE=45°-30°=15°.VRtA/lBE^RtACBF,・.・ZBCF=ZBAE=15。
・・・ ZACF= Z.BCF+ ZBCA= 152. 如图，/\ABD与•都为等边三角形，连接AE与CD,延长AE交C于点H.HC求证：(1) AE=DC\ D(2) ZAHD=60Q；(3) 连接 HB, 平分ZAHC.答案:(1) ・：ZABE= ZABD— /EBD, ZDBC= ZEBC~ ZEBD, ZABD= AEBC= 60 :.ZABE= ZDBC.在△ABE■和 ZiOBC 中，AB = DB,-ZABE = ZDBC,BE = BC,:.△ABE竺△DBC.:.AE=DC.(2) T /\ABE#4DBC ,・・・ZEAB=ZCDB.又..・ Z OAB+ Z OBA = Z ODH+ Z OHD,・・・ ZAHD=ZABD=6Q°.(3) 过B作人H、OC的垂线，垂足分别为点M、N.•.・ /XABE 竺△DBC,:・SmBE=S4DBO 即-4E* BM= - CD ・ BN.2 2又 *：AE=CDf・.・BM=BN.・・・H8平分ZAHC.3. 段AE同侧作等边ZVIBC和等边△COE (NACEV120)，点P与点M分别是线段BE和AO的中点.求证：△CPM是等边三角形.答案：证明：•「△ABC和△CQE都是等边三角形，:.AC=BC, CD=CE.:.ZACB=ZECD=60°.:.ZBCE= ZACD.:.ZCBE=ZCAD, BE=AD.又・.•点F与点M分别是线段BE和A。
的中点,:・BP=AM.在△BCP 和△ACA/中，BC = AC,-ZCBE = ZCAD, BP = AM,:.PC=MC, ZBCP=ZACM.:.ZPCM=ZACB=60°.:./XCPM是等边三角形.4. 将等腰RtAABC和等腰RtAADE按图①方式放置，ZA=90°, A边与AB边重合， AB=2AD=4.将△ADE'绕A点逆时针方向旋转一个角度仅(0°< 6T < 180°), 的 延长线交CE于P.(1) 如图②，求明：BD=CE, BDLCEx(2) 如图③，在旋转的过程中，当ADA.BD时，求CP长.图③答案：(1) 等腰RtAABC和等腰RtAADE, ・.・AB=AC, AD=AEf ZBAC= ZDAE=90°.9： ZDAB=90°-ZCAD, ZCAE=90°~ ZCAD,:.ZDAB=ZCAE.:./XABD^/XACE.：.BD=CE.:.ZDBA = ZECA.・nCPB=/CAB. (8 字模型):.BDLCE.(2) 由(1)得 BPLCE.又/DAE=90 AD=AE,.・・四边形ADPE为正方形.:.AD=PE=2.・.. £408=90AO=2,仙=4,・・・BD=CE= 2j3・:.CP=CE—PE= 2V3-2 .。