第12讲 直线的交点坐标与距离公式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.知识点 1 两条直线的交点坐标1、点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是方程组的解是2、直线的交点与方程的解求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．3、判断两直线的位置关系关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．4、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．知识点 2 两点间的距离1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：.【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：．2、三种特殊距离：（1）原点到任意一点的距离为；（2）当平行于轴时，；（3）当平行于轴时，．3、坐标法解题的基本步骤（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．知识点 3 点到直线的距离1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．2、距离公式：点到直线的距离．【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0．3、点到几种特殊直线的距离（1）点到轴的距离；（2）点到轴的距离；（3）点到直线的距离；（4）点到直线的距离．知识点 4 两条平行线间的距离1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．2、距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等．3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．考点一：两条直线的交点问题例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线与的交点坐标为（ ）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）A． B． C． D．【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.(1)；(2)；(3).考点二：根据两直线交点求参数例2. （23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）A．24 B．0 C．20 D．【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）A．4 B．2 C． D．【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ．考点三：三条直线的相交问题例3. （23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（ ）A． B．1 C． D．【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（ ）A． B．1 C． D．【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ）A． B． C． D．考点四：过两直线交点的直线方程例4. （23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ．【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 .【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程．考点五：两点间的距离公式例5. （23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则A，B两点间的距离为（ ）A．5 B． C．3 D．【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（ ）A．3 B．5 C．9 D．25【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（ ）A． B． C． D．考点六：点到直线的距离公式例6. （23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ）A． B． C．或 D．或【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点到直线的距离为4，则（ ）A．2 B．3 C．5 D．7【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .考点七：平行线间的距离公式例7. （23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线和之间的距离为（ ）A． B．2 C． D．3【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（ ）A． B．1 C． D．【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）A． B． C．12 D．14【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（ ）A．-8 B．-6 C．2 D．4考点八：点与直线的对称问题例8. （22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（ ）A． B．14 C． D．5【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线关于点对称的直线方程为（ ）A． B．C． D．【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（ ）A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线关于直线对称的直线方程为（ ）A． B． C． D．一、单选题1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（ ）A．3 B．4 C．6 D．82．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线间的距离是（ ）A． B． C．1 D．3．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（ ）A． B． C． D．4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（ ）A． B． C． D．5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）A． B．6 C．或4 D．4或66．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（ ）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解二、多选题7．（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（ ）A．0 B． C． D．8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（ ）A． B． C． D．1三、填空题9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ．10．（2023高二上·全国·专题练习）直线与上任意两点最小距离为 .11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ．四、解答题12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线，点．求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线的对称直线的方程；(3)直线关于点对称的直线的方程．13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线，设直线的交点为.(1)求点的坐标；(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.。
