本文格式为Word版，下载可任意编辑不等式的例子 篇一：新课标人教不等式的几个经典例子讲解 新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4根本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x＜ （2）求函数y=x+1，求函数y=x(1-3x)的最大值; 31的值域. x 思路分析：（1）由最值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用根本不等式，需分x＞0与x＜0议论. 1,∴1-3x＞0. 3 113x?(1?3x)211∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成332126 11立.∴x=时，函数取得最大值. 612 11解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0. 33 1x??x1111∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立. 312362 11∴x=时，函数取得最大值. 612（1）解法一：∵0＜x＜ （2）解：当x＞0时，由根本不等式，得y=x+11≥2x?=2，当且仅当x=1时，等号成立. xx 当x＜0时，y=x+11=-［(-x)+］. x(?x) ∵-x＞0,∴(-x)+11≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立. ?x(?x) ∴y=x+1≤-2. x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). x综上,可知函数y=x+ 绿色通道：利用根本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使根本不等式成立创造条件，同时要留神等号成立的条件是否具备. 1的最小值. x?1 1思路分析：x＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数. x?1变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+ 98591372.doc 第 1 页 共 8 页 解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+111=x+1+-1≥2(x?1)?-1=1. x?1x?1(x?1) 1,即x=0时,取得等号. x?1当且仅当x+1= ∴f(x)min=1. x4?3x2?3变式训练2求函数y=的最小值. x2?1 思路分析：从函数解析式的布局来看，它与根本不等式布局相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可开展. 解：令t=x2+1，那么t≥1且x2=t-1. x4?3x2?3(t?1)2?3(t?1)?3t2?t?11??t??1. ∴y==tttx2?1 ∵t≥1,∴t+≥2t?1t11=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立. tt ∴当x=0时，函数取得最小值3. 例2已知x＞0,y＞0，且19+=1，求x+y的最小值. xy 思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件举行必要的变形，下面给出三种解法，请留心体会. 解法一：利用“1的代换”, ∵19+=1, xy 1x∴x+y=(x+y)·(+9y9x)=10+?. yxy ∵x＞0,y＞0,∴y9x?≥2xyy9x=6. ?xy 当且仅当y9x?，即y=3x时，取等号. xy 又19+=1,∴x=4,y=12. xy 98591372.doc 第 2 页 共 8 页 ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 解法二：由19y+=1，得x=. xyy?9 ∵x＞0,y＞0,∴y＞9. x+y=yy?9?999+y=y+=y++1=(y-9)++10. y?9y?9y?9y?9 ∵y＞9,∴y-9＞0. ∴y?9?99≥2(y?9)?=6. y?9y?9 当且仅当y-9=9，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解y?9 法三：由19+=1，得y+9x=xy, xy ∴(x-1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x?1)(y?9)=16, 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又19+=1, xy ∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 绿色通道：此题给出了三种解法，都用到了根本不等式，且都对式子举行了变形，配凑出根本不等式得志的条件，这是经常需要使用的方法，要学会查看,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要留神根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 陷阱：此题轻易犯这样的错误： 1969+≥2①,即≤1,∴xy≥6. xyxyxy ∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12. 产生不同结果的理由是不等式①等号成立的条件是19=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同xy 一个题目中连续运用了两次根本不等式,但是两个根本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论. 98591372.doc 第 3 页 共 8 页 变式训练已知正数a,b,x,y得志a+b=10, 思路分析：此题属于“1”的代换问题. 解：x+y=(x+y)(ab?=1，x+y的最小值为18，求a,b的值. xyabbxaybxay+b=10+. ?)=a+??xyyxyx ∵x,y＞0,a,b＞0， ∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4. 又a+b=10， ?a?2,?a?8,∴?或? b?8b?2.?? 例3求f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）. lgx 思路分析：∵0＜x＜1, ∴lgx＜0,4＜0不得志各项务必是正数这一条件，不能直接应用根本不等式，正确的处理方法lgx 是加上负号变正数. 解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,44＜0.∴-＞0. lgxlgx ∴(-lgx)+(-44)≥2(?lgx)(?)=4. lgxlgx ∴lgx+44≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1. lgxlgx 14,即x=时取得等号. 100lgx当且仅当lgx= 那么有f(x)=3+lgx+4 (0＜x＜1)的最小值为-1. lgx 51，求函数y=4x-2+的最大值. 44x?5 98591372.doc 第 4 页 共 8 页 陷阱：此题轻易疏忽0＜x＜1这一个条件. 变式训练1已知x＜ 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要留神条件x＜5，那么4x-5＜0. 4 5,∴4x-5＜0. 4 11y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3 4x?55?4x解：∵x＜ ≤-2(5?4x)? 当且仅当5-4x=1+3=-2+3=1. 5?4x1,即x=1时等号成立. 5?4x 所以当x=1时，函数的最大值是1. 38时，求函数y=x+的最大值. 22x?3 8思路分析：此题是求两个式子和的最大值,但是并不是定值,也不能保证是正值,所以,务必2x?3 1833?2x83?使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求最22x?3223?2x2变式训练2当x＜ 值. 1833?2x83?（2x-3）++=-（）+， 22x?3223?2x2 3∵当x＜时，3-2x＞0， 2解：y= ∴3?2x83?2x813?2x8??≥2=4，当且仅当，即x=-时取等号. ?23?2x23?2x223?2x 355=?，故函数有最大值?. 222于是y≤-4+ 例4如图3-4-1，动物园要围成一致的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 . 图3-4-1 （1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m2，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，那么（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而 (2)那么是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值. 解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，那么由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18. 98591372.doc 第 5 页 共 8 页 篇二：不等式性质案例 不等式 不等式的根本性质 教学流程安置 1 2 3 4 5 篇三：不等式错解典型例子 [题1]给出以下四个判断： ①若a＜b，那么－2a＋1＜－2b＋1； ③若a＞b，c≤0，那么ac＜bc； ④若a＞0，b＜0，c＜0，那么(a－b)c＞0．其中正确判断的个数是 [ ] (A)0； (B)3； (C)2； (D)4． [曲解]四个判断均正确，选[D]． [正解]①若a＜b，不等式两边同乘以－2，得－2a＞－2b，不等式两边同加(转载自：.xiaocaOfaNW 小草 范 文 网:不等式的例子)1，得－2a＋1＞－2b＋1．所以判断①不正确． ③若a＞b，c≤0，那么ac≤bc，所以判断③不正确． ④若a＞0，b＜0，那么a－b＞0；又c＜0，所以(a－b)c＜0，故判断④不正确． 综上可知，选(A)． [错因分析与解题指导]根据不等式的根本性质3：不等式的两边都乘以( 或除 不等式的两边都乘以同一个数，实际上有三种情形：乘以同一个正数，乘以零，乘以同一个负数．其中两种处境已表述在不等式的根本性质2和3中，不等式两边都乘以0，不等式的两边就都等于0，不等式也就变成等式了．判断③中，由a＞b，c＜0，根据性质③，得ac＜bc；由a＞b，c=0，那么得ac=bc=0，因此原判断是不正确的． 判断④中，先根据a＞0(a是正数)及b＜0(b是负数)，得出a－b＞0，然后两边都乘以同一个负数c(c＜0)，得(a－b)c＜0．因此，原判断也是错误的． [练习题] 1．给出以下四个命题： ①若a＜b，那么ac2＜bc2； ②x2＞0恒成立； ③－x≤0恒成立； ④若ac2＜bc2，那么a＜b． 其中真命题为 [ ] (A)①，②，③，④； (B)②，③； (C)①，④； (D)④． 2．以下判断中，正确的个数有 [ ] ①若－a＞b＞0，那么ab＜0； ②若ab＞0，那么a＞0，b＞0； ③若a＞b，c≠0，那么ac＜bc； ④若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． (A)4； (B)3； (C)2； (D)1． [参考答案] 1．D 2．C [题2]“若a＜b，c＜d，那么ac＜bd”是否成立？ [曲解]成立．由于两个较小数的积确定小于两个较大数的积，例如2＜3，4＜5，那么有2×4＜3×5． [正解]不成立．反例如下： －3＜2，－5＜4，但(－。