导数的几何意义教学案例（重庆.黄益全）

第 1 页 共 9 页普通高中课程标准实验教科书·数学·选修 2-2（A）版《导数的几何意义》教学案例重庆复旦中学 黄益全一、案例背景一、案例背景(一一)教材分析教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》 （人教 A 版）选修 2－2 中第§1.1.3 节导数的几何意义是导数概念的下位概念，它是在学生学习了上位概念——平均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数的基础上，进一步从几何意义的角度来理解导数的含义与价值导数的几何意义的学习又是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础因此，导数的几何意义在知识承接上具有承前启后的作用，是本节，乃至本章的一个重要概念二）教学目标分析（二）教学目标分析1.通过引导学生回顾圆的切线的概念，发现圆的切线的定义的局限性，引发探究欲望，初步训练学生发现问题、提出问题、分析解决问题的能力；2.通过导数概念的复习，经过学生自己作图和教师动画演示割线“逼近”成切线的过程，让学生感受函数图像的切线的“形成”过程，获得函数图像的切线的意义，体会由“量变”到“质变”的心路历程；3.经历割线“逼近”成切线的过程，获得一般曲线的切线定义，感知并初步理解函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率，即 f x0xx 0fx f x0xx=切线的斜率； 0000()()|limx xxf xxf xyx VV V4.通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率，体会“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题、解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣；5.通过对高台跳水模型的研究，初步体会如何利用导数的几何意义来描述比较在， h t0t，处的变化情况的方法，达到梳理新知的目的，增强学生问题应用意识教育，让学生获1t2t得学习数学的兴趣与信心。

三）学生学情分析（三）学生学情分析从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念的学习，第 2 页 共 9 页学生对导数概念有了一定的理解和认识，导数是对变化率的一种“度量” ，同时也在积极思考导数的另一种体现形式——“形” 在此之前，学生对曲线(尤其是圆和圆锥曲线)的切线有了一定的认识，特别是在学习圆锥曲线与直线关系时，对抛物线和双曲线的切线的有一定的了解与认识从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生已经掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力从学习心理上看，学生已经掌握了圆的切线及圆锥曲线的切线，只是它的含义是从公共点的个数方面来了解的，当然在思维方面，形成了定势：直线与曲线相切，直线与曲线只有一个公共点本节课切线的含义要在思维层次方面获得上升，不是从公共点的个数上来定义切线，而是由 “割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好奇和兴趣本节课的内容蕴含着导数的“数”和“形”两种体现形式， “逼近”和“以直代曲”的思想和用已知探究未知的思考方法在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法。

根据本节课的内容特点，教学过程中可充分借用信息技术这一辅助手段，利用几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探究，概念形成，思维过程提供支持四）重、难点分析（四）重、难点分析重点重点：导数的几何意义，导数的实际应用， “逼近”和“以直代曲”数学思想方法难点难点：：对导数几何意义的理解与掌握，在每点处“附近”的变化率与瞬时变化率的近似关系的理解突破重难点的关键突破重难点的关键：由割线“逼近”切线的动态变化效果，体现“量”与“质”的nPP转化与相互替代五）教法与学法分析（五）教法与学法分析1.教法设计：问题教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结2.学法设计：教师引导，自主思考，参与探究、合作交流、形成共识3.教学手段：以“多媒体辅助教学”为辅，以“问题探讨，学生活动，学生归纳总结，老师黑板板书”为主4.教具准备：自做 PPT 多媒体课件和学案二、教学过程设计二、教学过程设计1.1.提出问题提出问题------引入课题引入课题【【温故知新，诱发思考温故知新，诱发思考】】第 3 页 共 9 页问题问题1 1：：初中平面几何中圆的切线与割线的定义分别是什么？ 在高中选修2-1中，我们又学习了椭圆，椭圆的切线的又是如何定义的呢？学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．直线和圆有两个公共点时，直线叫做圆的割线，两个公共点叫做交点．问题问题2 2：：上述圆与椭圆的切线的定义是否适用于抛物线、双曲线，甚至更一般的曲线呢？学生活动学生活动1 1：：试在图1、图2中作出过点A、B、D的切线。

结论结论: : 圆是一种特殊的曲线，圆的切线的定义并不能适用于一般曲线的切线，如图2中的l1虽然与曲线有唯一的公共点A，但我们不能认为它与曲线相切而另一条直线l2，虽然与曲线有两个公共点，我们还是认为它是曲线在点D处的切线问题问题3 3：：圆的切线除了直接用公共点的个数来定义外，实际上也可以由割线通过运动变化而得到学生活动学生活动2 2：：试在图3、图4中作出过点A的切线，并思考这条切线与割线l1的关系 （图3中过A的直径垂直于l1）设计意图设计意图：以上三个问题和两个活动旨在帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，引发学生的思考，使学生带着问题走进课堂，引导学生用平移和旋转两种观点来认识圆的切线，从而为寻找更加科学的方法来定义一般曲线的切线作铺垫，引导学生将数学知识进行推广和迁移对于图4，配以几何画板直观演示更为生动形象l1图 1图 4Al1AAOxyxyO ABD  图 2图 3Oy=f(x)xyΔΔxΔΔy yPP1ββ图 51l1l第 4 页 共 9 页问题问题4：：对于一般的曲线，是否可以用这种旋转的方式来定义曲线的切线呢？设计意图设计意图：对这个问题，暂不需要学生回答，主要是起过渡作用，以便引导到一般曲线的切线的探究上来，教师以“为了回答这个问题，让我们回顾一下导数的知识，并从导数的角度来探究割线与切线之间的关系”来承转话题，自然过渡。

问题问题5：：导数的定义是什么？你能借助图像说说平均变化率表示什么00()()f xxf x x 吗？请在图5中画出来设计意图：设计意图：一是通过提问，引导学生复习旧知，实现类比迁移，为探寻导数的几何意义做准备；二是通过学生的思考和动手操作，培养学生观察图像，归纳总结的能力. 2.2.探索问题探索问题------合情推理合情推理【【实验探究，思维辨析实验探究，思维辨析】】学生活动学生活动3 3：：在图6中作出过点P2、P3、P4、P5的割线，并注意观察在点P1沿曲线逐渐向点P靠近的过程中，割线PPn的运动情况问题问题6：：在Pn无限逼近P的过程中，你能描述一下割线PPn的变化情况吗？用这种方式得到的切线具有一般性吗？你认为如何定义曲线的切线呢？设计意图：设计意图：让学生通过亲身作图来参与曲线的切的“逼近”的发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义教师用几何画板演示点向1P逐步逼近，进而直线由割线变为切线的动态变化，为学生观察、思考提供平台，引导学生P共同分析，直观获得切线定义；学生通过曲线的切线的定义解决了切线推广的问题，体验到数学的严谨和数形结合的直观3.3.解决问题解决问题------获取新知获取新知【【归纳提炼，得出新知归纳提炼，得出新知】】（板书）（板书）1.1.曲线的切线的定义：当时，割线（确定位置），PT 叫做曲nPPnPP PT线在点 P 处的切线．问题问题 7 7：：切线的斜率与割线变化过程中的斜率有什么关系呢？PTnPP学生活动学生活动 4 4：：学生自主思考，小组讨论归纳. 得出结论：割线斜率的极限是切线的斜率，即：切线的斜率 k=xy xxxfxfxxx0011lim)()(lim001oxyP1P2PP3 P4 切切 线线T割割 线线y=f(x)图 6第 5 页 共 9 页设计意图：设计意图：这个环节既是整个教学过程的重点，也是教学活动的难点，教师应着力引导学生将数与形结合，将切线斜率和导数相联系，使学生在直观认识的基础上，用数学语言归纳概括，然后对比导数定义表达式与切线斜率xy xxfxxfxf xx 00000lim)()(lim)(，经观察、思考、讨论、交流后获得导数的几何意义；另一方面，xy xxxfxfxxx0011lim)()(lim001这个环节也使学生体会到“由量变到质变”的哲学思想。

(板书板书)2.)2.函数f(x)在x=x0处的导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即/00 00()()lim=() xf xxf xkfxx VV V学生活动学生活动5 5: :解决“问题2”教师教师: : 这种通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线所以这种定义才真正反映了切线的直观本质问题问题8:研究导数的几何意义有什么作用？ 请思考图7中三幅图的含义学生讨论、交流后，教师总结教师：教师：以“直代曲”是微积分中的重要的思想方法，即以简单的对象(切线)来刻画复杂的对象(曲线)大多数的曲线就一小范围来看，大致可看成直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” 设计意图：设计意图：通过对点P附近图像的逐步放大，让学生体会到“某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替”这一“以直代曲”的数学思想方法，这种思想是微积分学中的重要思想方法．（板书）（板书）3 3．．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线.4.4.新知应用新知应用------及时巩固及时巩固【【学而习之，牛刀小试学而习之，牛刀小试】】[练习练习] 求曲线y=f(x)=x2在点P(1,2)处的切线方程.图 7PPPP第 6 页 共 9 页0002020()():lim(1)1 (1 1)lim2()lim2.xxxf xxf xkx x x xx x        解因此，切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.设计意图设计意图：回顾重点，突出导数的几何意义及应用，学会利用导数的切线的关系解题。

此练习让学生独立动手完成，检测学生对知识的掌握情况游刃有余，提升能力游刃有余，提升能力】】[例例1] 观察跳水运动高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，请描述曲线在t0,t1,t2附近的变化情况以及t1,t2附近的增（减）快慢情况解：可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线来描述曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． (1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h/(t1)0 B.f/(x0)0，当x>4或x<1时，f/(x)<0，当x=4或x=1时，f/(x)=0试画出函数f(x)的大致形状课后作业课后作业】】（1）阅读教材P6-8（2）P10习题A4-6三、案例反思三、案例反思精心备课是教师实现“高效课堂”和“卓越课堂”的源泉，是教师提高课堂教学能力和提升专业素养的首要途径在备课环节中的一项重要工作就是研读教材教师对教材的研读，一方面要从宏观的角度领会教材的学科特点，进而确立教材内容的地位作用，另一方面第 8 页 共 9 页又要从微观的角度揣摩教材的编写意图，明确教材的脉络结构，然后从教学设计的层面凸现教学的重点难点，酝酿教学设计的具体策略，并力求使教师的教学设计实现教材的知识价值、思想价值、能力价值、教育价值和文化价。