关于矩阵行等价的一些思考杨忠鹏1 陈梅香1 晏瑜敏1 陈智雄1 林志兴1 林丽生1，21.莆田学院数学系2008年10月11日2.辽宁工业大学机械工程及其自动化学院目 录引引 言言1广泛的应用广泛的应用3理论研究理论研究4参参 考考 文文 献献５现现 状状2一、引言 矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．性质2 矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性性质3(见[3,定理]) 对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列向量的线性关系 性质1 （见[1,定理3]）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩二 、现状 利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解线性方程组等，日显其重要性随着技术的发展，其计算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器， Matlab(Octave), Mathematica,Maple等，这些工具都可以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置、简化行阶梯形、行列式、LU分解、QR分解，其中最重要的是简化行阶梯形 。
但相比之下，其理论部分相二 、现状 对滞后在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种等价关系．国外的一些教材（如[3-5]）都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的, 但对“矩阵的行标准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深刻的知识作为附录给出证明的过程．现在使用这些知识的教材越来越多（如[6－9] 等），但很少将“矩阵行最简形是唯一的” 的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于“矩阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的．三、广泛的应用 1、教学中的基本要求2、课后讨论、研究3、能力提升（毕业论文选题）1、教学中的基本要求（1）求行列式（2）求矩阵或向量组的秩（3）判定向量组的线性相关性（4）求其极大无关组，并表示其他向量（5）求矩阵的逆（6）求解线性方程组 的矩阵形式为： 求解过程： 应用行化简算法解线性方程组步骤：1、写出方程组的增广矩阵.2、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形. 确定方程组是否有解，如果没有解则停止；否则进行下一步.3、继续行化简算法得到它的简化阶梯形.4、写出由第3步所得矩阵所对应的方程组.5、把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.计算技术日益成熟： 计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等Matlab中 “rref ” 命令是求矩阵的行最简形 2、课后讨论、研究（1）求解(2)求向量的坐标[13](3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式[13]实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题（5）化二次型为标准型及判断矩阵正定[14]其中T是上三角阵（6）把线线性无关的向量组组正交化[14]1) 3)若欲在正交化后得到正交阵，可令则D的列向量组为标准正交组。
(7)求正定阵阵A的分解式 [14]（8）初等变换在多项式理论中的应用 [15]（判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的根，求最大公因式）（i）求两个多项式的最大公因式(ii)判定多项式有无重因式(iii) 求商和余式(9) 数学实验(10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）：例1（1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四）已知两个线性方程组为同解线性方程组，求参数m、n、t之值．（1）（2）要使（1）与（2）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵有相同的行标准形即可！由唯一性得求 ，并求（4）的一般解．例2 （[18，P100，习题习题 23）已知线线性方程组组的解都满满足方程组组 （4）（3）例1‘（2007年北京交通大学硕士研究生入学考试试题10） 设有两个线性方程组（1）求（I）的通解；（2）当且仅当（II）中参数a、b、c为何值时，（I）和（II）同解．（I）（II）例1’’（2007年湖北大学硕士研究生入学考试2）已知两个线性方程组同解，试确定参数a、b、c的值．（I）（II）例3 （ 2008年浙江理工大学硕士研究生入学考试）设设（5）（6）为两个n+1维向量组，证明：若向量组（5）和向量组（6）等价，则线性方程组 （7）和（8）同解。
举例说明上述命题的逆命题不成立事实上，逆命题是成立的！3、能力提升（毕业论文选题）（1）在初等数论中的应用 （i）求整数的最大公因式及其线性表出 （ii）求自然数等幂和(见[20] ) (见[19] ) （2）解线性不定方程(见 [19] )（3）解同余方程 (见[21] )（4）求最小多项项式（向量关于矩阵阵的最小多项项式 )(见[22])（6）化行简化梯形矩阵的初等变换次数 (见[23] )（7）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用 (见[24] )四 、理论研究 行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，如上可以发现，它在研究讨论矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相关性的判别、求向量组的极大线性无关组及其余向量用极大无关组的线性表示式和线性方程组的解等多方面有着重要的应用但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教学上. 文献【25】虽亦列有唯一性定理,但未给出证明，只是说：“这个定理的证明是十分麻烦的,我们省略它要怎样在教学的同步即可完成，是长期以来被众多学者注意而还没有解决好的问题目前，对行简化梯形矩阵唯一性的证明，前人至少已给出四种证明方法（见文[1]、[10]、[11]、[26]）.这些方法具有各自的特点，但所用的知识较多，不适合将他们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一. 现结合学生的毕业论文[24] ，给出了此唯一性的另一种证明方法.唯一性定理 中任意一个矩阵 仅与唯一的行简化梯形矩阵行等价，即 的行简化梯形矩阵是唯一的.记 的唯一行简化梯形矩阵为 .设 ， 是 的两个行简化梯形矩阵，要证 。
根据行简化梯形矩阵的定义，可设★证明的主要过程1、先根据 和 是行等价的， 和 中列向量之间的线 性关系是一样的，这样可证得它们的主元列位置是相同的 2、再根据 和 行等价，存在一个 阶可逆阵 ，使得： .将 ， 两个矩阵代入，比较等式两边可推出矩阵 的结构是将矩阵 和 进行分块变成 和 ，则 可容易计算解得 于是而即 .这就证得了唯一性. 这种证法正是在这已有的四种证明方法上给出的，它是采用了第三种证明方法中所提到的行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想，以及第二种所提到的两个行等价矩阵 ， 间存在一可逆阵 有 这个知识点，较完整地表述了证明过程. 所以,可以说它是前人已有证明方法的一种结合,与他们相比,是有存在不同之处的.此种方法可以尝试用于课堂教学上或课外提高内容，学生不需要积累太多的理论知识就可以理解这个证明.对于教师授课，教师也只要讲述大概的证明过程，学生在课后可以自己去补充完成证明，让他们对此唯一性的证明有更深刻的理解.[1] 袁玉玲.简化梯形矩阵及其应用 [J].曲阜师范学报（自然科学版）. 1983.第 2期.P27-28. [2] 大学数学课程报告论坛组委会. 2007论文集M].高等教育出版社, 北京, 2008.5. [3] Birkhoff GMaclance S.A Survey of Modern Algebra(4th Edition)[M].New York: Macmilan. 1977. [4] Kenneth Hoffnian and Ray Kange. Linear Algebra (2nded)[M]. Prentice- Hill, Juc. Englewood Cliffs Ne Jersey(1971): 11-12, 5-66, 397-395. [5] Assen S. Deif. Advanced Matrix Theory for Scientists and Engineers (1982): 2-3, 49-52. [6] 居余马等. 线性代数(第二版)[M].，清华大学出版社, 北京, 2002. 参考文献[7] 同济大学应用数学系编, 工程数学－线性代数(第四版)[M].高等教育教出版社, 北京, 2004. [8] 李建华等. 经济应用数学－线性代数(第四版)[M]. 高等教育出版社, 北京, 2004. [9] 同济大学应用数学系编, 线性代数(第四版)附册－学习与习题选解[M]. 高等教育出版社, 北京, 2004. [10](美)David C.Lay著.刘深泉,洪毅,马东魁,郭国雄,刘勇平 译.线性代数及 其应用（原书第3版）[M].北京：机械工业出版社.2005.8.P433. [11] 谭思文,杨忠鹏.关于矩阵的行等价的一些问题[J]. 吉林师院学报(自然 科学版).1985.第1期.P54-56. [12] 王萼芳, 邱维声. 高等代数讲义(上册) (中央广播电视大学教材)[M]. 北京大学出版社, 1983: 62-64 [13]王文省 姚忠平 钟红心。
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