矩形（基础）责编：常春芳【学习目标】1 .理解矩形的概念.2 .掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是 一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1 .矩形具有平行四边形的所有性质；2 .矩形的对角线相等；3 .矩形的四个角都是直角；4 .矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线 可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对 称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形 的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角 看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1 .定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .对角线相等的平行四边形是矩形.3 .有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判 定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角 三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三 角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的 直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质C1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6, M, N分别是AB, CD的 中点，P是AD上的点，且NPNB=3NCBN.(1)求证：Z PNM=2Z CBN； (2)求线段AP的长.【思路点拨】(1)由MNIIBC,易得NCBN=NMNB,由已知N PNB=3N CBN,根据角的 和差不难得出结论；(2)连接AN,根据矩形的轴对称性，可知NPAN=/CBN,由(1)知Z PNM=2Z CBN=2Z PAN,由 ADIIMN,可知N PAN=N ANM,所以N PAN二N PNA,根据 等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理列方程求出AP.【答案与解析】解：(1) ,・,四边形ABCD是矩形，M, N分别是AB, CD的中点，・ •・ MNII BC,・ •. Z CBN=N MNB,Z PNB=3Z CBN,・ •. Z PNM=2Z CBN；(2)连接AN,根据矩形的轴对称性，可知NPAN=/CBN,MNII AD,・ •・ Z PAN二N ANM,由(1)知NPNM=2NCBN,・ •. Z PAN=N PNA,・ •. AP=PN,・ .・AB=CD=4, M, N分别为AB, CD的中点，・ •.DN=2,设 AP=x,贝1J PD=6 - x,在RtA PDN中pd2+dn2=pn2,(6 - x) 2+22=x2,解得：x二U3所以AP=里.3【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角 的倍差关系得到NPAN=NPNA,发现AP=PN是解决问题的关键.举一反三：【高清课堂417081矩形例7】【变式】如图，Rt^ABC中，ZC=90° , AC = 3, BC=4,点P为AB边上任一点，过P分别 作PEJ_AC于E, PFJLBC于F,则线段EF的最小值是.12【答案】-；5提示：因为ECFP为矩形，所以有EF=PC. PC最小时是直角三角形斜边上的高. 类型二、矩形的判定 、(2015•内江)如图，将。
ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE, EC, DE交BC于点O.(1)求证：△ ABD2△ BEC；(2)连接BD,若NBOD=2NA,求证：四边形BECD是矩形.【答案与解析】证明：(1)在平行四边形 ABCD 中，AD=BC, AB=CD, AB II CD,则 BEII CD. 又「 AB=BE,BE=DC,・ ・・四边形BECD为平行四边形，・ •. BD=EC.・ •・在△ ABD与△ BEC中，(AB=BEBD二EC，[ad=bc・ •.△ ABD^ △ BEC (SSS)；(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE, OC=OB.・ ・•四边形ABCD为平行四边形，・ ・.NA=NBCD,即na=nocd.又「 Z BOD=2Z A, Z BOD=N OCD+Z ODC,・ •. Z OCD=N ODC,・ •. OC=OD,・ •. OC+OB=OD+OE,即 BC=ED,・ •・平行四边形BECD为矩形.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点的综合运用，熟练 掌握特殊几何图形的性质与判定是解决问题的关键.举一反三：.【变式】如图，在AABC中，AB=AC, D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形. 求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：•・•四边形ABDE是平行四边形，• ••AE〃BC, AB=DE, AE=BD• D为BC的中点,ACD=BD• ・.CD〃AE, CD=AE• ••四边形ADCE是平行四边形VAB=ACA AC=DE• ••平行四边形ADCE是矩形.C3、如图所示，口ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形.【思路点拨】AE、BE分别为NBAD、NABC的角平分线，由于在口ABCD中，ZBAD+ZABC = 180° ,易得NBAE+NABE = 90° ,不难得到NHEF=90° ,同理可得NH=NF=90° .【答案与解析】证明：在口ABCD 中，AD〃BC,・ •・ ZBAD+ZABC=180° ,・ .* AE、BE 分别平分NBAD、ZABC,・ •・ ZBAE+ ZABE= - ZBAD+ - ZABC = 90° .2 2・•・ NHEF=NAEB = 90° .同理：ZH=ZF=90° .・•・四边形EFGH是矩形.【总结升华】（1）利用角平分线、垂线得到90。
的角，选择“有三个直角的四边形是矩形” 来判定.（2）本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形.类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、（2012•佳木斯）如图，AABC 中，AB=AC=10, BC = 8, AD 平分NBAC 交 BC 于点 D,点E为AC的中点，连接DE,则4CDE的周长为（ ）A. 20 B. 12 C. 14 D. 13【答案】C；【解析】解:VAB=AC, AD 平分NBAC, BC=8,AAD±BC, CD=BD=1BC = 4, 2• ・•点E为AC的中点，，DE=CE=LaC = 5, 2A ACDE 的周长=CD+DE+CE = 4 + 5 + 5=14.【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线 合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.举一反三：.【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD, AC、BD相交于点0, P是平行四边形ABCD外一点，且NAPC=NBPD=90求证：平行四边形ABCD是矩形.【答案】解：连接0P.• /四边形ABCD是平行四边形.，A0=C0, B0=D0,• .• ZAPC=ZBPD = 90° ,：.0P=-AC, 0P=，BD, 2 2• *• AC—BD.• •・四边形ABCD是矩形.。