第十章 正弦稳态分析从本章开始，我们研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路正弦稳态分析的重要性在于：1. 很多实际电路都工作于正弦稳态例如电力系统的大多数电路2. 用相量法分析正弦稳态十分有效3. 已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应§10－1 正弦电压和电流 一、正弦电压电流 按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电 压(或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压(电流)，常称 为交流电，用AC或ac表示常用函数式和波形图表示正弦 电压和电流，例如振幅为Im,角频率为ω，初相位为i的正 弦电流的函数表达式如式(10－1)所示，其波形图如图所示a) 初相>0的情况 (b) 初相=0的情况 (c) 初相0的情况 (b) 初相=0的情况 (c) 初相0的情况 (b) 初相=0的情况 (c) 初相0时，表明i1(t)超前于电流i2(t)，超前的角度为，超前的时间为/ω。
当 =1 -2<0时，表明i1(t)滞后于电流i2(t)，滞后的角度为||，滞后的时间为||/ω图(a)表示电流i1(t)超前于电流i2(t)的情况，图(b)表示电流i1(t)滞后于电流i2(t)的情况 同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况1. 同相:如果相位差=1-2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同相，如图(a)所示；2. 正交:如果相位差=1-2=/2，称电流i1(t)与电流i2(t)正交，如图(b)所示，图中电流i1(t)超前电流i2(t)一个/2 或90°；3. 反相:如果相位差=1-2=，称电流i1(t)与电流i2(t)反相，如图(c)所示 (a) 同相(b) 正交(c) 反相在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像 例10-2 已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式为 试求电压u(t)与电流i1(t)和i2(t)的相位差电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为 习惯上将相位差的范围控制在 -180°到+180°之间，我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240 ，而说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120。
解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为 三、正弦电压电流的相量表示利用它的振幅Um和初相ψ来构成一个复数，复数的模表示电压的振幅，其幅角表示电压的初相，即 分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础是用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流假设正弦电压为它在复数平面上可以用一个有向线段来表示，如图所示这种用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量 图10-5设想电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，它在实轴投影为Umcos(t+ψ)，在虚轴上投影为Umsin(t+ψ)，它们都是时间的正弦函数，如图所示 图10-6 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影将电压相量与旋转因子ejt=cost+jsin t相乘可以得到以下数学表达式上式表明正弦电压与电压相量之间的关系为 由此可得 由上述可见，一个随时间按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个称为相量的复数来表示已知正弦电压电流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电流相量反过来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压电流的瞬时值表达式即 例10-3 已知正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A,i2(t)=-10sin(314t+60)A。
写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图，并求出i(t)=i1(t)+i2(t)得到表示正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A的相量为 解：根据以下关系 正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为 注意：今后在用相量法分析电路时，应该将各正弦电压电流的瞬时表达式全部用余弦函数(正弦函数)表示 与此相似，对于正弦电流i2(t)= -10sin(314t+60)A可以得到以下结果 三角公式 sinx=cos(x-90)图 10-7将各电流相量 和 画在一个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法则求得几个同频率正弦电压或电流之和例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流I的相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅约为12A，初相约为124°作图法的优点是简单直观，但不精确图 10-7采用复数运算可以得到更精确的结果图 10-7四、正弦电压、电流的有效值现在将直流电流I和正弦电流i(t)通过电阻R时的能量作一比较，由此导出正弦电压电流的有效值，它是一个十分有用的量。
直流电流I和正弦电流i(t)=Imcos(t+ψ)通过同一电阻R，令它们在时间T内获得的能量相等由此解得 用此式计算出正弦电流i(t)=Imcos( t+ψ)的方均根值，称为正弦电流的有效值具体计算如下 与此相似，正弦电压u(t)=Umcos( t+ψ)的有效值为 计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为I=0.707Im 的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同的能量也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍 有效值的概念在电力工程上非常有用，常用的交流电压表和电流表都是用有效值来进行刻度的，当我们用交流 电压表或普通万用表测量正弦电压的读数为220V时，是指 该电压的有效值为220V，其振幅值为 由于正弦电压电流的振幅值与有效值间存在 的关系，今后除了使用前面介绍的振幅相量 和外，更多使用的是有效值相量 和 正弦时间函数与有效值相量之间的关系如下： 有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。
例如 对于图10-8(a)所示三角波形，将瞬时值表达式 代入式(10－4)中 计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值的 倍，或者说其振幅值是有效值的 倍 图10-8(a)对于图(b)所示半波整流波形，将其瞬时值表达式 代入式(10－4)中，可以得到半波整流波形的有效值是 振幅值的0.5倍，或者说其振幅值是有效值的2倍的结论，具体计算过程如下： 图 10-8(b)在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像 名 称时间 名 称时间1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424电感线圈的电压电流关系2:125电容器的电压电流关系2:306RC和RL电路相位差1:437RC正弦分压电路1:278RC正弦电路的电压关系1:569CASIOfx82科学计算器2:1910CASIOfx82MS科学计算器3:1011CASIOfx150科学计算器2:3012KD102科学计算器1:5013KK106N科学计算器3:1014习题10－53电路实验3:1615习题10－57电路实验2:4916习题10－58电路实验2:4917方波的谐波分量2:5718非正弦波的谐波5:0919回转器变电容为电感4:31 根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。