关于平面机构自由度的思考摘要：机构自由度是机构具有独立运动的参数，是机械设计和分 析中重要的概念，针对分析机构自由度时出现的问题，说明机构自由度公 式的应用范围及需注意的问题，并基于此提出思考，以便更好地运用和掌 握关键词：机械设计 机构自由度 独立运动引言机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数g,称为机构的 自由度［1］机构自由度计算问题，无论在《机械原理》课程中还是在实 际机械的设计和分析中都占有重要地位常规设计的机构，其运动必须是 确定的；一个运动链是否成为机构不仅取决于其结构，还取决于其原动件 数目，机构具有确定运动的条件是：机构的自由度数（以F表示）等于机 构给定的原动件数（以S表示），即S二F且F>0；故自由度计算正确与否将 会引起机构确定运动分析结果的止确，它是机构设计必需的步骤所以机 构的自由度计算在机构的设计中占有很重要的地位早在19世纪中后期, 德、俄等国学者已开始对机构的组成要素、组成方式及分类方法等问题进 行研究，提出的诸如运动副等基木概念、机构自由度等基本方法一直沿用 至今［2］我国现行的教材无一例外采用1869年由俄国科学院院士契贝舍 夫（GrUbler-Kutzbach）提出的契氏公式计算平面机构的自由度。
即F=3n-2H-pB (1) 其中n为活动构件数，PB为低副数，p■为高副数但是，在用此公式分析一些平面机构如全移动副平面机构时出现错误 的结论，与实际情况不符基于此，笔者对公式应用条件、注意事项等进 行了研究并提出了儿点思考1・契氏公式的应用条件契氏公式应用到现在已近150年的历史，从发展的角度看，任何事物 的存在都不是完备的，都有其一定的局限性，契氏公式也不例外随着机 构的发展、结构自由度研究的进展，人们逐步揭示了机构学的运动本质 和规律，揭示了机构学与结构学之间的内在联系，自由度计算公式的局 限性逐渐凸显出来1.1仅适用于平面机构，不适用于空间机构一个活动杆件在平而上有三个自由度，一个平面低副引入两个约朿， 一个平面高副引入1个约束，故机构的自由度F二3n-2・-p・，显然契氏公 式是适用于平面机构的一个在空间不受任何约束而自由运动的构件共有 六个自由度，每个运动副引入约束最多为五，最少为一，显然契氏公式不 能满足分析空间机构的需要，基于此前苏联科学院通讯院士陀勃罗伏尔斯 基于1943年提出空I'可机构自由度计算分式：F二(6-m) n-H (i~m) pH (2)其中n为活动构件数，m为机构各构件在运动时所受到的公共约束数，i为i级运动副的约束数，由运动副产生的约束数决定，P■为i 级运动副的个数。
1. 2不适用于全移动副平面机构图1为平面楔形滑块机构，活动活动构件数门二2,低副数pL=3,高副 数pH-0,计算得机构的口由度为F二0,这与实际情况不符就一般推论而 言，平面机构可以理解为空间机构的特例，图1所示机构可以用上述空 间机构自由度公式来计算由于该机构为一全移动副平面机构，其两活动 构件被限制在xy平面内移动，故其公共约束沪4,则该机构的自由度为：F二(6-m) n- (5~m) p■二(6-4) X2- (5-4) X3二 1图1楔形滑块机构(a)闭链(b)开链图2五杆机构1・3仅适用于闭链机构，不适用于开链机构图2为五杆机构，活动活动构件数n二4,图3)中低副数p■二5,高 副数p■二0,计算得机构的口由度为F二2,结果正确图(b)中低副数p ■二4,高副数p■二0,计算得机构的自由度为24,这与实际情况不符， 由此看出契氏公式不适用于开链机构自由度的计算2•契氏公式应用时注意事项契氏公式存在天然的缺陷与不足，然而时至今口，在我国的各种教材、 设计手册中，契氏公式仍然还作为最主要的公式在使用，其在很多情况下 计算是止确的，在计算机构的自由度时除了明确其使用条件外，还有一些 应注意的事项必须正确处理，否则得不到正确结果。
2. 1复合较链两个以上的构件同时在一处用转动副相连接就构成复合饺链图3是三个构件汇交成的复合较链，这三个构件共组成两个转动副依次类推,K个构件汇交而成的复合狡链应具有(K-1)个转动副在计算机构自由度 时应注意识别复合较链，以免把转动副的个数算错图3复合饺链图4局部自由度2.2局部自由度在有些机构中，其某些构件所能产生的局部运动并不影响其他构件 的运动，我们把这些构件所能产生的这种局部运动的自由度称为局部自 由度如图2所示的凸轮机构，凸轮为主动件，顶杆为从动件凸轮机 构的功用是用顶杆获得预期的运动，滚子是为减少高副元索的磨损而加入 的从动件，滚子与顶杆间形成的自由度不会影响输出件的运动，所以滚子 与顶杆间的自由度为局部自由度，在计算机构自由度时，假想滚子和安 装滚子的构件固接为一个整体，成为一个构件或将机构中的局部自由度除 去不计，否则机构的口由度为二，是不正确的2. 3虚约束在机构中，有些运动副带入的约束対机构的运动只起重复约束作用， 特把这类约束称为虚约束，在计算机构的自由度时应将这类虚约束除去， 机构中的虚约束常发生在下列情况：2.3.1在机构中如果两构件用转动副连接，连接前后其连接点的运动 轨迹重合，则该连接将带入1个虚约束。
如图5 (a)中转动副C所连接的 C■与C■两点的轨迹就是重合的，均沿y轴作直线运动，故带入一个虚约 束2.3.2如果两构件在多处接触而构成移动副，口移动方向彼此平行，则只能算一个移动副如图5 (b)中构件3和4在两处形成移动副，且移 动方向重合，则在计算自由度时只算一个；如果两构件在多处相配合而构成转动副，且转动轴线重合，则只能算一个转动副如图5 (c)中构件1 和2在三处形成转动副，且转动轴线重合，则在计算自由度时只算一个； 如果两构件在多处相接触而构成平面高副，且各接触点处的公法线彼此重 合，则只能算一个平面高副，如图5 (d)中两构件两处相接触而构成平曲 高副，且各接触点处的公法线彼此重合，因此只算一个高副图5 (e)中 高副各接触点处的公法线不重合，所以此种情况没有虚约朿 2. 3. 3在机构运动的过程中，若两构件上某两点之间的距离始终保持不变，则如 用双转动副杆将此两点相连，也将带入1个虚约束图5 (f)中连杆3作 平动，BC线上各点的轨迹均为圆心在AD线上而半径等于AB的圆周构件 5与AB等长，两个转动副E、卩对机构的运动不产生任何影响，由此带入 1个虚约朿应当注意，对于虚约束，从机构的运动观点看是多余的，但能增强机 构的刚性，改善其受力状况，因而被广泛采用。
但是虚约束的情况比较复 杂，有时很难判断，因此分析时要注意机构的结构，具体问题具体分析， 正确计算机构的自由度a) (b) (c)(d) (e) (f)图5具有虚约束的机构3 •机构自由度计算的思考平面机构自由度的计算公式非常简单，但实际计算很复杂对于一个工程实际问题，实际自由度的确定往往不能简单地套用公式计算,除了需 要考虑复合狡链、局部自由度和虚约束等问题（特别是虚约束的问题，往 往不容易判断）夕卜，还必须具体问题具体分析对此提出以下几点思考思考一：不管是最早的平面机构自由度公式，后来的空间机构自由度 公式，还是现在的新公式［3］新方法［4］,机构自由度计算的思想是一致的一百多年以来，人们对机构的认识在不断提高，对机构理论的研究也 越來越深入，机构自由度计算公式也在不断完善，无论公式的形式如何变 化，理论如何更新，这些公式或方法的思想都是统一的，都是利用活动构 件的自由度减去运动副引入的约束得到的也就说只要正确获得活动构件 的自由度与运动副引入的约束数，机构自由度的计算结果便是正确的思考二：活动构件数及自由度的判断是否正确，直接影响到机构自由 度计算的正确性在现行各种教材及参考书中，都着重介绍复合较链、局部自由度及虚 约束等的分析判断，未见分析活动构件数及自由度对机构自由度的影响。
实际上，对于全移动副楔形滑块机构自由度计算应用平面机构自由度公式 是没错的，前提是搞清楚活动构件的自由度，如图1所示，活动构件数为 2,移动副为3,由于两活动构件被限制在只能在xy平面内运动，即活动 构件的自由度不再是3,而是2,移动副引入的约束不是2,而是1,则有 F二2X2-3X1=1,结果正确在计算机构自由度时，活动构件数目判断不对，计算结果也是错误的 如图6刹车机构，若把车轮误认为机构的一个构件，则结果不正确图6刹车机构 思考三：在分析运动副引入的约朿时，应根据具体情况具体分析，不 应一味照搬某些结论一般认为平面机构中，转动副和移动副引入两个约 束，但在图1所示楔形滑块机构中，移动副引入一个约束，这是因为两活 动构件被限制在只能在xy平面内运动，单个活动构件的自由度为2,移动 副只可能引入1个约束，若按引入两个约束计算，结果将是机构不能动， 这与实际情况不符结语机构理论不断发展，机构自由度公式也在不断完善，这些公式各有特 点，在应用时除了要明确其适用范围，注意复合较链、局部自由度及虚约 束等问题外，对机构自由度计算提出儿点思考，以便更好地运用和掌握公 式，正确计算机构自由度参考文献：[1] 孙桓，陈作模，葛文杰•机械原理第七版[M]•高等教育出版社， 2006： 13.[2] 张策•机械原理与机械设计(上册)[M].机械工业出版社，2011：28.[3] 欧阳富，蔡汉忠，廖明军•机构结构新旧自由度计算公式对比之 理论研究[J]•中国机械工程，2010 .12, V0L21 (24).[4] 郭卫东，于靖军.一种计算平面机构自由度的新方法[J]・机械工程学报,2013.04, V0L49 (7).。