利用传统方法解决二面角问题利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：定义法题型一：定义法题型二：三垂线法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型四：垂面法题型五：补棱法题型五：补棱法【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】二面角的求法二面角的求法法一：定义法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)法二：三垂线法法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO 于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为二面角-c-的平面角如图1，具体步骤：找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；过点(与中是同一个点)做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；计算：ABO为二面角-c-的平面角，在RtABO中解三角形图1图2图3法三：射影面积法法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos=S射S斜=SABCSABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解1题法五：垂面法法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角【典型例题】【典型例题】题型一：定义法题型一：定义法1.(2024高一江西宜春期末)如图(1)，六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且BAD=ADC=90，AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4，沿AD进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且AEC=90.(1)求证：CD平面ADEF.(2)求二面角C-AE-D的余弦值；2.(2024高一全国随堂练习)如图，在圆锥PO中，已知PO=2，O的直径AB=2，点C在AB上，且CAB=30，点D为AC的中点(1)证明：AC平面POD(2)求二面角P-AC-O的正弦值23.(2024高一河南商丘阶段练习)如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PA=AB=2.求：(1)求二面角B-PA-C的大小(2)求二面角A-PD-C的大小.(3)求二面角B-PD-A的大小的正弦值题型二：三垂线法题型二：三垂线法1.(2024高一湖南长沙阶段练习)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC.(1)证明：平面PBC平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B-PA-C的余弦值32.(2024高一江苏南京阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，ABC=60，E为PC中点(1)证明：AC面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值3.(2024高二江苏南京阶段练习)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC=60，PA=AD=4，E为AD的中点(1)求证：平面PCE平面PAD；(2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值4题型三：射影面积法题型三：射影面积法1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小2.(2024新疆和田高一校考期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD底面ABCD(1)证明：AB平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值3.(2024高一课时练习)直角三角形ABC的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成30和45角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为5题型四：垂面法题型四：垂面法1.(2024高一云南玉溪期末)如图，三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，其中AB=AC=PA=PB=2，平面PAB平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点(1)证明：EN平面PAB；(2)求二面角C-PB-A的余弦值2.(2024高一安徽芜湖期末)如图，在三棱台ABC-DEF中，ACB=90，BFAD，BC=2，BE=EF=FC=1(1)求证：平面BCFE平面ABC；(2)若直线AE与平面BCFE所成角为3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值6题型五：补棱法题型五：补棱法1.(2024山东淄博高一统考期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为棱BB1、BC的中点(1)证明：直线DN平面AMD1；(2)设平面AMD1与平面ABCD的交线为l，求点M到直线l的距离及二面角D1-l-C的余弦值2.(2024湖南常德高一临澧县第一中学校考期末)九章算术 是中国古代的一部数学专著，是 算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.九章算术 中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知ADPB，垂足为D，AEPC，垂足为E，ABC=90.(i)证明：平面ADE平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=2 3，AC=2，求二面角E-l-C的大小.73.(2024黑龙江牡丹江高一牡丹江一中校考期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设PC=2AB=4，求二面角E-l-C大小的取值范围.【过关测试】【过关测试】1.(2024高一广西玉林阶段练习)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90,2AB=2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点，(1)求证：B1D平面ABD；(2)求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值.82.(2024高一河南商丘阶段练习)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为棱AA1的两个三等分点(1)求证：CE平面BDF；(2)求二面角C1-BD-F的余弦值3.(2024高一山东淄博阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，AB=2，ACBD=O，PO底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CEPD(1)证明：平面PBD平面ACE；(2)证明：OEPD(3)求二面角D-AC-E的余弦值94.(2024高一陕西西安阶段练习)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，E，F分别为A1B，A1C的中点，D为B1C1上的点，且A1DB1C.(1)求证：平面A1FD平面BCC1B1；(2)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1-B1C-C1的平面角的正切值.5.(2024高一广东云浮阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，ABC=60，E为PC中点(1)证明：PA平面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值106.(2024高一山东枣庄阶段练习)如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB=2DC=2BC，将ADE沿DE折起形成四棱锥A-BCDE.(1)求证：DE平面ABE；(2)若二面角A-DE-B为60，求二面角A-DC-B的余弦值.7.(2024高一北京怀柔期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2(1)证明：CD1平面A1BD；(2)证明：BD平面A1AC；(3)求二面角A1-BD-A的正弦值118.(2024高一广西期末)如图，四棱锥P-ABCD，PA平面ABCD，BAD=BCD=2，AB=BC=2，PA=BD=4，过点C作直线AB的平行线交AD于F，G为线段PD上一点(1)求证：平面PAD平面CFG；(2)求平面PBC与平面PDC所成二面角的余弦值9.(2024高一辽宁葫芦岛期末)如图，在多面体ABCDEF中，菱形ABCD的边长为2，BAD=60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF=3(1)段FC上确定一点H，使得平面BDH平面AEF；(2)设G是线段EC的中点，在(1)的条件下，求二面角A-HG-B的大小1210.(2024高一贵州毕节期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB=3,AD=2，侧面PAD是等腰三角形，且PA=PD=2，侧面PAD底面ABCD.(1)求证：AP平面PCD；(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值.11.(2024高一内蒙古包头期末)如图，已知AB是圆的直径，且AB=4,PA垂直圆所在的平面，且PA=3,M是弧AB的中点(1)求点A到平面PBM的距离；(2)求二面角A-BM-P的正弦值1312.(2024高一辽宁期末)如图1，在等腰直角ABC中，C=2，D，E分别是AC，AB的中点，F为线段CD上一点(不含端点)，将ADE沿DE翻折到A1DE的位置，连接A1C，A1B，得到四棱锥A1-BCDE，如图2所示，且A1FCD(1)证明：A1F平面BCDE；(2)若直线A1E与平面BCDE所成角的正切值为155，求二面角A1-BD-C的平面角的正切值13.(2024高一安徽宣城期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，OCD是边长为2的等边三角形(1)若AB=2 2，求直线AB和CD所成角的余弦值；(2)若点E在棱AD上，AE=13AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的正弦值1414.(2024高一福建福州期末)如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点.(1)求证：DMPC；(2)段PB上是否存在一点Q使得MQ平面PNC，存在指出位置，不存在请说明理由.(3)求二面角B-PC-N的正弦值15利用传统方法解决二面角问题利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：定义法题型一：定义法题型二：三垂线法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型四：垂面法题型五：补棱法题型五：补棱法【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】二面角的求法二面角的求法法一：定义法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)法二：三垂线法法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO 于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为二面角-c-的平面角如图1，具体步骤：找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；过点(与中是同一个点)做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；计算：ABO为二面角-c-的平面角，在RtABO中解三角形图1图2图3法三：射影面积法法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos=S射S斜=SABCSABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借。
