教材拓展,2,破解嵌套函数的零点问题,高三一轮复习讲义湘教版,第二章函数与基本初等函数,我们把形如,y=f,(,f,(,x,),或,y=f,(,g,(,x,),的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题,.,嵌套函数问题有两类基本形式：,一、,“,f,(,f,(,x,),”,型,这一类型是同一个函数,f,(,x,),自身嵌套问题，求解这一类型的策略是：首先将,“,内层函数,”,换元，即设,f,(,x,),=t,，然后根据题设条件解出相应,t,的值或范围，最后利用函数,f,(,x,),或利用函数,y=f,(,x,),与,y=t,的图象关系解得问题,.,二、,“,f,(,g,(,x,),”,型,这一类型是两个函数,f,(,x,),、,g,(,x,),的互嵌问题，求解这一类型的策略是：首先将,“,内层函数,”,换元，即设,g,(,x,),=t,，然后通过中间变量既是,“,内层函数,”,的函数值，又是,y=f,(,t,),的自变量，或利用,y=f,(,t,),与,t=g,(,x,),两个函数的性质，或做出并利用,y=f,(,t,),与,t=g,(,x,),两个函数的图象来解决问题,.,02,题型二由嵌套函数零点的个数求,参数的取值范围,题型一嵌套函数零点个数的判断,01,内容索引,题型一嵌套函数零点个数的判断,(1),已知函数,f,(,x,),是定义在,(,，,0),(0,，,+,),上的偶函数，且当,x,(0,，,+,),时，,f,(,x,),=,则函数,g,(,x,),=,f,(,x,),2,f,(,x,),的零点个数为,A,4B,5,C,6D,7,典例,1,因为当,x,(0,，,2,时,，,f,(,x,),=,(,x,1),2,，,当,x,2,时,，,f,(,x,),=f,(,x,2),+,1,，,所以将,f,(,x,),在区间,(0,，,2,上的图象向右平移,2,个单位长度,，,同时再向上平移,1,个单位长度,，,得到函数,f,(,x,),在,(2,，,4,上的图象,.,同理可得到,f,(,x,),在,(4,，,6,，,(6,，,8,，,上的图象,.,再由,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称得到,f,(,x,),在,(,，,0),上的图象,，,从而得到,f,(,x,),在其定义域内的图象,，,如图所示,，,令,g,(,x,),=,0,，,得,f,(,x,),=,0,或,f,(,x,),=,1,，,由图可知直线,y=,0,与,y=,1,和函数,y=f,(,x,),的图象共有,6,个交点,，,所以函数,g,(,x,),共有,6,个零点,.,故选,C,(2),已知函数,f,(,x,),=,则方程,f,(,f,(,x,),=,1,的根的个数为,A,7B,5,C,3D,2,令,u=f,(,x,),，,先解方程,f,(,u,),=,1.,当,u,1,时,，,则,f,(,u,),=,2,u,1,=,1,，,得,u,1,=,1.,当,u,1,时,，,则,f,(,u,),=|,ln,(,u,1),|=,1,，,即,ln,(,u,1),=,1,，,解得,u,2,=,1,+,，,u,3,=,1,+,e.,作出函数,f,(,x,),的图象,，,如图所示,，,直线,u=,1,，,u=,1,+,，,u=,1,+,e,与函数,u=f,(,x,),图象的交点个数分别为,3,，,2,，,2,，,所以方程,f,(,f,(,x,),=,1,的根的个数为,3,+,2,+,2,=,7.,故选,A,破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤,第一步,：,换元解套,，,转化为,t=g,(,x,),与,y=f,(,t,),的零点,；,第二步,：,依次解方程,，,令,f,(,t,),=,0,，,求,t,，,代入,t=g,(,x,),求出,x,的值或判断图象的交点个数,.,规律方法,对点练,1.,已知函数,f,(,x,),=,其中,e,为自然对数的底数，则函数,g,(,x,),=,3,f,(,x,),2,10,f,(,x,),+,3,的零点个数为,A,3B,4,C,5D,6,当,x,0,时,，,f,(,x,),=,4,x,3,6,x,2,+,1,，,f,(,x,),=,12,x,2,12,x,，,当,0,x,1,时,，,f,(,x,),1,时,，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),单调递增,，,可得,f,(,x,),在,x=,1,处取得最小值,，,最小值,为,1,，,且,f,(0),=,1.,作出函数,y=f,(,x,),的图象如图所示,.,因,为,g,(,x,),=,3,f,(,x,),2,10,f,(,x,),+,3,，,令,t=f,(,x,),，,由,g,(,x,),=,0,，,可得,3,t,2,10,t+,3,=,0,，,解得,t=,3,或,t=,.,当,t=,，,即,f,(,x,),=,有,3,个解,，,则,g,(,x,),有,3,个零点,；,当,t=,3,，,即,f,(,x,),=,3,有,1,个解,，,则,g,(,x,),有,1,个零点,.,综上,，,g,(,x,),共有,4,个零点,.,故选,B,对点练,2.,已知函数,f,(,x,),=,则函数,g,(,x,),=f,(,f,(,x,),2,f,(,x,),+,1,的零点个数是,A,4B,5,C,6D,7,令,t=f,(,x,),，,g,(,x,),=,0,，,则,f,(,t,),2,t+,1,=,0,，,即,f,(,t,),=,2,t,1,，,分别作出函数,y=f,(,t,),和直线,y=,2,t,1,的图象,，,如图,所示,，,由图象可得,y=f,(,t,),与,y=,2,t,1,有两个,交点,，,设两交点横坐标为,t,1,，,t,2,，,则,t,1,=,0,，,1,t,2,2,，,对于,t=f,(,x,),，,分别作出函数,y=f,(,x,),和直线,y=t,2,的图象,，,如图,所示,，,由图象可得,，,当,f,(,x,),=t,1,=,0,时,，,函数,y=f,(,x,),与,x,轴有两个交点,，,即方程,f,(,x,),=,0,有两个不相等的实根,，,当,t,2,=f,(,x,),时,，,函数,y=f,(,x,),和直线,y=t,2,有三个交点,，,即方程,t,2,=f,(,x,),有三个不相等的实根,.,综上可得,g,(,x,),=,0,的实根个数为,5,，,即函数,g,(,x,),=f,(,f,(,x,),2,f,(,x,),+,1,的零点个数是,5.,故选,B,返回,题型二由嵌套函数零点的个数求参数的取值范围,(1),已知函数,f,(,x,),=,若函数,g,(,x,),=,f,(,x,),2,2,af,(,x,),+a,2,1,恰有,4,个不同的零点，则实数,a,的取值范围是,A,(,1,，,0),(1,，,2)B,(,1,，,1),(3,，,+,),C,(,1,，,0),1,，,2)D,(,1,，,1,(3,，,+,),典例,2,画出,f,(,x,),的大致图象如图所示,.,令,g,(,x,),=,f,(,x,),2,2,af,(,x,),+a,2,1,=,0,，,得,f,(,x,),=a,1,或,f,(,x,),=a+,1.,设,f,(,x,),=t,，,由图,可知,，,当,t,2,时,，,t=f,(,x,),有且仅有,1,个实根,，,当,t=,0,或,1,t,2,时,，,t=f,(,x,),有,2,个实根,，,当,0,t,1,时,，,t=,f,(,x,),有,3,个实根,，,则,g,(,x,),恰有,4,个不同的零点等价于,解得,1,a,0,或,1,a,1,时,，,有两个不同的,x,与之对应,，,当,t=,1,时,，,有一个,x,与之对应,，,当,t,1,时,，,没有,x,与之对应,.,由,有,6,个不同的解知,，,需,要方程,有三个不同的,t,，,且都大于,1.,作出函数,y=g,(,t,),和直线,y=a,的图象如图,所示,.,当,a,(2,，,3,时满足要求,.,综上,，,实数,a,的取值范围为,(2,，,3.,已知函数零点的个数求参数范围,，,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题,，,需准确画出两个函数的图象,，,利用图象写出满足条件的参数范围,.,规律方法,对点练,3.,(2025,河南驻马店模拟,),已知函数,f,(,x,),=,若函数,g,(,x,),=,f,(,x,),2,af,(,x,),+,1,有,6,个零点，则实数,a,的取值范围是,A,(2,，,4B,(2,，,+,),C,D,设,t=f,(,x,),，,则由,g,(,x,),=,f,(,x,),2,af,(,x,),+,1,，,可设,y=h,(,t,),=t,2,at+,1,，,画出,f,(,x,),的图象,，,如图所示,，,由图可知,，,当,t,2,时,，,t=f,(,x,),有两个不同的解,；,当,1,t,2,时,，,t=f,(,x,),有三,个不同的解,，,令,h,(,t,),=,0,，,即,t,2,at+,1,=,0,，,因为函数,g,(,x,),有,6,个零点,，,故需,t,2,at+,1,=,0,在,(,1,，,2,内有两个不同的根,，,所以,解得,2,a,，,即实数,a,的取值范围是,.,故选,C,对点练,4.,(2024,安徽合肥三模,),设,a,R,，函数,f,=,若函数,y=f,恰有,5,个零点，则实数,a,的取值范围为,A,B,C,D,设,t=f,，,当,x,0,时,，,f,=,1,，,此时,t,0,，,由,f,=,0,得,t=,1,，,即,f,=,1,=,1,，,解得,x=,0,或,x=,2,，,所以,y=f,上有,2,个零点,；,当,x,0,时,，,若,a,0,，,f,=,x,2,+ax,，,对称轴为,x=,，,函数,y=f,的,大致图象如图,所示,，,此时,f,=,x,2,+ax,0,，,即,t,0,，,则,f,0,，,所以,f,=,0,无解,，,则,t=f,无零点,，,y=f,无零点,，,综上,，,此时,y=f,只有,2,个零点,，,不符合题意,；,若,a,0,，,此时,f,的大致图象如图,所示,，,令,t,2,+at=,0,，,解得,t=a,1,，,即,+,1,，,解得,a,2,，,所以,a,.,故选,D,返回,谢 谢 观 看,破解嵌套函数的零点问题,。