13.3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质和判定知识要点基础练知识点1 等边三角形的性质1.如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是(A)A.100° B.80° C.60° D.40°2.如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y= 3.5 . 3.如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DF⊥BE于点F.求证:BF=EF.证明:∵BD是等边△ABC的中线,∴∠DBE=12∠ABC=12∠ACB.又∵CE=CD,∴∠E=12∠ACB,∴∠DBE=∠E,∴DB=DE.∵DF⊥BE,∴BF=EF.知识点2 等边三角形的判定4.下列推理错误的是(B)A.因为∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形B.因为AB=AC,且∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形C.因为∠A=60°,∠B=60°,所以△ABC是等边三角形D.因为AB=AC,且∠B=60°,所以△ABC是等边三角形5.【教材母题变式】如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=2,则△ADE的周长= 9 . 6.如图,∠A=∠B=60°,CE∥DA,CE交AB于点E.求证:△CEB是等边三角形.证明:∵∠A=60°,CE∥DA,∴∠CEB=60°,∵∠A=∠B=60°,∴∠CEB=∠B=∠ECB=60°,∴CE=BE=BC,∴△CEB是等边三角形.综合能力提升练7.如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,以O为圆心,OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果PO=PD,那么AP的长是(D)A.5 B.8 C.7 D.68.如图,△ABC是等边三角形,AD是∠BAC的平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确结论的个数为(A)A.3 B.2 C.1 D.09.如图,将边长为5 cm的等边△ABC,沿BC边向右平移3 cm,得到△DEF,DE交AC于点M,则△MEC是 等边 三角形,DM= 3 cm. 10.在中线长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= 4 . 11.如图,等边△A1C1C2的周长为1,作C1D1⊥A1C2于点D1,在C1C2的延长线上取点C3,使D1C3=D1C1,连接D1C3,以C2C3为边作等边△A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于点D2,在C2C3的延长线上取点C4,使D2C4=D2C2,连接D2C4,以C3C4为边作等边△A3C3C4;…且点A1,A2,A3,…都在直线C1C2同侧,如此下去,则△AnCnCn+1的周长为 12n-1 . 12.如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.求证:△ADE为等边三角形.解:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC,即∠ACD=120°,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE=60°,在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠B=∠ACE,BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,又∠BAC=60°,∴∠DAE=60°,∴△ADE为等边三角形.13.如图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°,AB=CA,在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD.∴△ABE≌△CAD(SAS).(2)∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=60°.14.(恩施州中考)如图,△ABC,△CDE均为等边三角形,连接BD,AE交于点O,BC与AE交于点P.求证:∠AOB=60°.解:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠CAE=∠CBD.∵∠APC=∠BPO,∴∠BOP=∠ACP=60°,即∠AOB=60°.拓展探究突破练15.数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边△ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与BD的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论.当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与BD的大小关系,请你直接写出结论:AE = BD.(填“>”“<”或“=”) (2)特例启发,解答题目.解:AE与DB的大小关系:AE=DB.理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成后面的解答过程)解:(2)在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF,易得∠DBE=∠EFC,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵ED=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF,∴△DEB≌△ECF(AAS),∴BD=EF=AE,即AE=BD.第 页。