2一、函数的概念 3（一）映射与函数1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：A→B2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数 4〖方法小结〗1、理解映射的概念①A、B为非空数集；②A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；③A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”2、理解函数与映射的关系函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数4、若y是u的函数，u又是x的函数即y=f(u)，u=g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y关于x的函数y=f(g(x))，叫做f和g的复合函数。
5（二）函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义1、函数的定义域是指自变量的取值范围 6〖方法小结〗1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组2、已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域时，可令g(x) ∈D解得x的范围C，即为f[g(x)]的定义域；已知 f[g(x)]的定义域为D，求f(x)定义域时，可先由x∈D，求出g(x) 的范围C，即为f(x)定义域 7（三）函数的值域函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合〖方法小结〗1、求函数值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.②真分式法:求式函数求式函数f(x)= f(x)= 形函数的值域，形函数的值域，如如f(x)= f(x)= 转化为转化为f(x)=1f(x)=1－－ 求值域求值域; ;2x2x＋＋1 12x2x＋＋3 3axax＋＋b bcxcx＋＋d d5 5x x＋＋3 3 8③反函数法:求式函数求式函数f(x)= f(x)= 形函数的值域，均形函数的值域，均可使用反函数法可使用反函数法. .axax＋＋b bcxcx＋＋d d④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.形如y= (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的分布来求解.a a1 1x x2 2+b+b1 1x+cx+c2 2a a2 2x x2 2+b+b2 2x+cx+c2 2⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数 93、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己积累经验，掌握规律。
2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用⑧不等式法:利用基本不等式求函数值域,但要注意其使用的条件“一正、二定、三相等”⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域. 10（四）反函数3、反函数的求法：①由y=f（x）解出x=f－1（y）；②将x=f－1（y） 中的x、y互换，得y=f－1（x） ；③由 y =f（ x ） 的值域，写出 y =f－1（ x ）的定义域1、定义：函数、定义：函数y=f(x)(x∈∈A)中，设它的值域为中，设它的值域为C，由，由y=f(x)解出解出x=f－－1(y)，如果对于，如果对于y在在C中的任何一个值，中的任何一个值，由由x=f－－1(y) ，，x在在A中都有唯一的值和它对应，那么中都有唯一的值和它对应，那么x=f－－1(y)就表示就表示x是是y的函数，则函数的函数，则函数x=f－－1(y)就叫做就叫做y=f(x)的反函数习惯上把的反函数习惯上把y看成函数，将看成函数，将x、、y调换，调换， y=f(x)的反函数表示为的反函数表示为y=f－－1(x)2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。
互为反函数的两个图象关于直线y=x对称 〖方法小结〗1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数因此，定义域上的单调函数必有反函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数；周期函数不存在反函数2、若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数3、若原函数过点(a , b)，则反函数过点(b, a) ，即若f（a）=b，则f－1（b）=a4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性 12〖〖方法小结方法小结〗〗1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于原点对称2、函数奇偶性的可用如下变形判定：奇函数：f(－x) + f(x)=0 或f(－x)f(x)=－1偶函数：f(－x) － f(x)=0 或f(－x)f(x)= 13、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：①根据恒等式性质，利用待定系数法；②利用特殊值法特别是当奇函数在x=0时有意义必有f(0)=0f(x)≠0） 13二、函数的性质 14 （一）函数的单调性1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当 x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2) （ f(x1) ＞f(x2) ），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。
2、注意定义的变形：设x1、x2∈[a，b]f(x1) －f(x2)x1－x2＞0或(x1－x2)( f(x1) －f(x2))＞0 f(x)为偶函数f(x1) －f(x2)x1－x2＜0或(x1－x2)( f(x1) －f(x2))＜0 f(x)为奇函数 15几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减） 函数；②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；③y=f(x)与y=－f(x)有相反的单调性；④当 y=f(x)恒为正或恒为负时， y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处： 16〖方法小结〗1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减2、根据定义证明函数单调性的方法：①设x1、x2∈A，且设x1＜x2 ；②作差：f(x1)－f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；③判断差的符号，并作结论。
3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x∈(a,b),u∈(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x))在[a,b]上也是单调函数若y=f(u)是(m , n)上的增（减）函数，则y=f(g(x))的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减” 17（二）函数的奇偶性（二）函数的奇偶性1 1、定义：对于函数、定义：对于函数f f（（x x）定义域内的任意）定义域内的任意x,x,若若f f（（-x-x））= -f= -f（（x x）则）则f f（（x x）为奇）为奇函数；若函数；若f f（（-x-x））= f= f（（x x）则）则f f（（x x）为偶函数）为偶函数. .2 2、函数的奇偶性的、函数的奇偶性的 判断方法：判断方法：（（1 1）利用定义）利用定义f f（（x x）为奇函数）为奇函数≒≒ f f（（-x-x））= -f= -f（（x x））≒≒ f f（（-x-x））+f+f（（x x））=0 =0 f f（（x x）为偶函数）为偶函数≒≒ f f（（-x-x））= f= f（（x x））≒≒ f f（（-x-x））-f -f（（x x））=0=0 18（（2 2）利用图象）利用图象f f（（x x）为奇函数）为奇函数≒≒ f f（（x x）的图象关于原点对称；）的图象关于原点对称；f f（（x x）为偶函数）为偶函数≒≒ f f（（x x）的图象关于）的图象关于y y轴对称；轴对称；（（3 3）利用性质）利用性质设设f f（（x x），），g g（（x x）的定义域分别为）的定义域分别为C C，，D D，那么在它们的公共定义域上有：当，那么在它们的公共定义域上有：当f f（（x x），），g g（（x x）均为奇函数时，）均为奇函数时， f f（（x x））+ g+ g（（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（（x x））. g. g（（x x）偶）偶函数；当函数；当f f（（x x），），g g（（x x）均为偶函数时，）均为偶函数时， f f（（x x））+ g+ g（（x x）为偶函数，）为偶函数，f f（（x x））. . g g（（x x）偶函数；奇函数的反函数也是奇函数）偶函数；奇函数的反函数也是奇函数. .函数具有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称！函数具有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称！ 19 （三）函数的周期性（三）函数的周期性对于函数对于函数f f（（x x），如果存在一个非零的常数），如果存在一个非零的常数T T使得当使得当x x取定义域内的每一个值时，取定义域内的每一个值时， f f（（x+Tx+T））= f= f（（x x）都成立，那么）都成立，那么f f（（x x）是周期函数，）是周期函数，T T是它的周期；对于一个周期函数是它的周期；对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就叫这个最小的来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就叫这个最小的 正数为最小正周正数为最小正周期期. .若若T T是函数的一个周期，则是函数的一个周期，则nTnT（（n n∈∈Z,nZ,n≠ ≠0 0）也是该函数的周期）也是该函数的周期 20（四）函数的对称性（四）函数的对称性1 1、若、若f f（（-x-x））= f= f（（x x），则），则f f（（x x）关于）关于y y轴对称轴对称2 2、若、若f f（（-x-x））= -f= -f（（x x），则），则f f（（x x）关于原点对称）关于原点对称3 3、、 y= fy= f（（x x）与）与y= fy= f（（-x-x）关于）关于y y轴对称轴对称4 4、、 y= fy= f（（x x）与）与y=- fy=- f（（x x）关于）关于x x轴对称轴对称5 5、、 y= fy= f（（x x）与）与y=f－1(x)关于关于y=xy=x对称对称6 6、若、若f f（（a-xa-x））= f= f（（a+xa+x），即），即f f（（2a-x2a-x））= f= f（（x x）则）则则则f f（（x x）关于）关于x=ax=a对称对称 若若f f（（a-xa-x））= -f= -f（（a+xa+x），即），即f f（（2a-x2a-x））= -f= -f（（x x）则）则则则f f（（x x）关于（）关于（0 0，，0 0）对称）对称 21注意：•如果一个函数既关于关于x=a对称，也关于对称，也关于x=b对对称，那么该函数一定是称，那么该函数一定是T=2∣ ∣b-a ∣ ∣的周期函数；的周期函数；•如果一个函数既关于关于（（ a ，，0））对称，也关于对称，也关于x=b对称，那么该函数一定是对称，那么该函数一定是T=4∣ ∣b-a ∣ ∣的周期的周期函数；函数； 22三、几类常见的函数 23（一）正比例函数y=kx（k≠0）xyok＞0xyok＜0图象性质性质:1、定义域为、定义域为R；； 2、值域为、值域为R；； 3、是奇函数；、是奇函数； 4、单调性：、单调性： k＞＞0时为增函数时为增函数, K＜＜0时为减函数。
时为减函数 24图象（二）反比例函数：y= （k≠0）kxxyok＞0xyok＜0性质性质: 1、定义域：、定义域：(－－∞,0)∪ ∪(0,＋＋∞); 2、值域：、值域： (－－∞,0)∪ ∪(0,＋＋∞)；； 3、是奇函数；、是奇函数； 4、、k＞＞0时，在时，在(－－∞,0)或或(0,＋＋∞) 上是增函数；上是增函数； k＜＜0在在(－－∞,0)或或(0,＋＋∞) 上是减函数上是减函数 25（三）一次函数：y=kx＋b（k≠0）xyok＞0xyok＜0图象性质性质: 1、定义域为、定义域为R；； 2、值域为、值域为R；； 3、、b=0是奇函数；是奇函数；b≠0时为非奇时为非奇非偶函数；非偶函数； 4、、k＞＞0时为增函数时为增函数, K＜＜0时为减函数时为减函数 26（四）二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）oxy4 4、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为x=x=－－ ，有最小值，，有最小值，在（－在（－∞ ∞，－，－ ] ]为减函数，在为减函数，在[ [－－ ，，+∞)+∞)为增函数。
为增函数b b2a2ab b2a2ab b2a2a4ac4ac－－b b2 24a4a性质：性质：1 1、定义域：、定义域：R R；；2 2、值域：、值域：[ [ ，，+∞);+∞);3 3、当、当b=0b=0时为偶函数，当时为偶函数，当b≠0b≠0时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数a a＞＞0 0时的图象与性时的图象与性质质 27oxy4 4、图象开口往下，对称轴为、图象开口往下，对称轴为x=x=－－ ，有最大值，，有最大值，在（－在（－∞ ∞，－，－ ] ]为增函数，在为增函数，在[ [－－ ，，+∞)+∞)为减函数为减函数b b2a2ab b2a2ab b2a2a4ac4ac－－b b2 24a4a性质：性质：1 1、定义域：、定义域：R R；；2 2、值域：（、值域：（ —∞ —∞ ，， ]; ];3 3、当、当b=0b=0时为偶函数，当时为偶函数，当b≠0b≠0时为非奇非偶函数。
时为非奇非偶函数a a＜＜0 0时的图象与性质时的图象与性质 28Δ＞0Δ＜0Δ=0图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a>0)ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)x=x1 或x=x2x=x1 =x2=－b2a{x|xx2}{x|x1
称轴、单调区间、判别式、最值等4ac4ac－－b b2 24a4ab b2a2a3 3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=a(xf(x)=a(x－－k)k)2 2＋＋mm，零点式：，零点式：f(x)=af(x)=a(x(x－－x x1 1)(x)(x－－x x2 2) ) 4 4、二次函数、二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c当当Δ=bΔ=b2 2－－4ac4ac＞＞0 0时时, ,图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点M(xM(x1 1,0) , N(x,0) , N(x2 2,0),,0),并且并且|MN|=|x|MN|=|x1 1－－x x2 2|= |= a||a|√Δ Δ5 5、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为0 0的条件，但如果题中没有指明是二次的条件，但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次项系数为函数，则要分二次项系数为0 0和不为和不为0 0两种情况进行讨论两种情况进行讨论6 6、二次函数在区间、二次函数在区间[m[m，，n]n]上的最值一般分：上的最值一般分：四种情况讨论。
四种情况讨论 34（五）幂函数（五）幂函数1 1、定义：形如、定义：形如y=xy=xn n（（n n是常数）叫做幂函数是常数）叫做幂函数2 2、在高考中、在高考中n n限于在集合限于在集合{ {－２，－－２，－1 1，－，－ ，， ，， ，，1 1，，2 2，，3 }3 }中取值1 12 21 12 21 13 33 3、图象与性质：、图象与性质：n n＜＜0 0n n＞＞1 1n n＝＝1 10 0＜＜n n＜＜1 1x xy yo o①①定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性： 视视n n的情况的情况而定；而定；②②当当n n＞＞0 0时在时在(0,(0,＋＋∞ ∞) )为增函数，为增函数，当当n n＜＜0 0时在时在(0,(0,＋＋∞ ∞) )为减函数；为减函数；③③当当n n＞＞0 0时图象都过时图象都过(0,0)(0,0)和和(1,1)(1,1)点点; ; 当当n n＜＜0 0时过时过(1,1)(1,1)点点. . 35〖〖方法小结方法小结〗〗1 1、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数的图象；、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数的图象；2 2、当、当x x＞＞1 1时，幂函数的指数越大，图象越高，当时，幂函数的指数越大，图象越高，当0 0＜＜x x＜＜1 1时，幂函数的指数时，幂函数的指数越大，图象越低；越大，图象越低；3 3、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，由条件及幂函数性质作出、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得出进一步结论，使问题得到解决。
示意图，再出图形得出进一步结论，使问题得到解决 36（六）指数式与对数式（六）指数式与对数式1 1、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：①①正整数指数幂：正整数指数幂：an=a·a···aan=a·a···a（（n n∈ ∈N N）；）；②②零指数幂：零指数幂：a a0 0=1=1（（a≠0a≠0））③③负整数指数幂：负整数指数幂：a a－－n n= = （（a≠0a≠0，，n n∈ ∈N N））④④正分数指数幂：正分数指数幂：a = a = （（a≥0a≥0，，n n＞＞1 1，，mm、、n n∈ ∈N N））⑤⑤负分数指数幂：负分数指数幂：a = a = （（a a＞＞0 0，，n n＞＞1 1，，mm、、n n∈ ∈N N）） 37•2、幂的运算法则：、幂的运算法则：•①①am．．an=am＋＋n ② am÷an=am－－n （（a≠0））•③③（（am））n=amn ④（（ab））m=ambm 383 3、对数：如果、对数：如果a ab b=N=N，那么，那么b b叫做以叫做以a a为底为底N N的对数，记为的对数，记为b=logb=loga aN N。
a ab b=N =N b=logb=loga aN Na a＞＞0 0且且a≠1a≠1））logloga aN N4 4、对数恒等式：、对数恒等式：a = Na = N（（a a＞＞0 0且且a≠1a≠1，，N N＞＞0 0））5 5、对数的性质：、对数的性质：①①0 0和和1 1没有对数；没有对数；②②logloga a1=01=0；； ③③logloga aa=1a=16 6、对数的运算法则：、对数的运算法则：①①logloga a (MN)= log(MN)= loga aMM＋＋ logloga aN N （（MM，，N N＞＞0 0））③③logloga aMMn n=n log=n loga aM M （（MM＞＞0 0））②② logloga a = log= loga aMM－－ logloga aN N （（MM，，N N＞＞0 0））MMN N 397 7、对数的换底公式：、对数的换底公式：logloga aN=N=loglogb bN Nloglogb ba a重要推论：重要推论： logloga ab· logb· logb ba=1a=1，， logloga a b bn n= log= loga ab bm m mmn n8 8、常用对数：、常用对数：②②lgxlgx·1010n n=n=n＋＋lgx=nlgx=n＋正的纯小数＋正的纯小数(1≤x(1≤x＜＜1010，，n n是整数是整数) )①①以以1010为底的对数叫做常用对数。
为底的对数叫做常用对数③③以以e e为底的对数叫做自然对数为底的对数叫做自然对数 40〖〖方法小结方法小结〗〗1 1、根式的运算常常化成幂的运算来进行根式的运算常常化成幂的运算来进行2 2、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公式统一底，再进行运算，运算、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则中注意逆用运算法则3 3、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题常用方法指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题常用方法4 4、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观点处理问题通过方程（组）、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观点处理问题通过方程（组）来求值，用换元法转化方程求解等来求值，用换元法转化方程求解等 41（七）指数函数与对数函数（七）指数函数与对数函数1 1、指数函数、指数函数y=ay=ax x(a(a＞＞0 0且且a≠1)a≠1)的图象和性质：的图象和性质：a＞＞10＜＜a＜＜1图象性质①①x∈∈R；； ②②y∈∈(0,+∞); ③③过定点过定点(0,1)④④当当x＞＞0时时,y＞＞1, x＜＜0时时,0＜＜y＜＜1④④当当x＞＞0时时, 0＜＜y＜＜1, x＜＜0时时, y＞＞1 ⑤⑤在在R上是增函数上是增函数.⑤⑤在在R上是减函数上是减函数.x xo oy yx xo oy y 42x xo oy yx xo oy y2 2、对数函数、对数函数y=logy=loga ax(ax(a＞＞0 0且且a≠1)a≠1)的图象和性质：的图象和性质：a＞＞10＜＜a＜＜1图象性质①①x∈∈ (0,+∞) ；； ②② y∈∈ R; ③③过定点过定点(1, 0)④④当当x＞＞ 1时时,y＞＞ 0, 0＜＜ x＜＜ 1时时, y＜＜ 0④④当当x＞＞ 1时时, y＜＜ 0, 0 ＜＜ x＜＜ 1时时, y＞＞ 0⑤⑤在在R上是增函数上是增函数.⑤⑤在在R上是减函数上是减函数. 43〖〖方法小结方法小结〗〗1 1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数a a的的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出影响，所以分类讨论思想表现得更为突出 ，同时两类函数的函数值变化情况，，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。
充分反映了函数的代数特征与几何特征2 2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用单调性在这类问题上的应用3 3、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：logloga ab b＞＞0 (a0 (a－－1)(b1)(b－－1)1)＞＞0;0;logloga ab b＜＜0 (a0 (a－－1)(b1)(b－－1)1)＜＜0 0当0＜a＜1时，m＞n＞0 logam＜logan当a＞1时，m＞n＞0 logam＞logan 44（八）指数方程与对数方程（八）指数方程与对数方程1、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程2、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为代数方程来解3、解对数方程一定要注意验根 45〖〖方法小结方法小结〗〗1 1、指数方程主要类型及其解法：、指数方程主要类型及其解法：①①化为同底：化为同底：a af(x)f(x)=a=ag(x)g(x)，化为，化为f(x)=g(x),f(x)=g(x),再求解。
再求解②②指、对数互化：指、对数互化： a af(x)f(x)=b=b，化为，化为f(x)=logf(x)=loga ab b③③换元法：换元法：a a2f(x)2f(x)+ba+baf(x)f(x)+c=0,+c=0,设设y=ay=af(x)f(x)化为二次方程求解化为二次方程求解a af(x)f(x)=b=bg(x)g(x), ,两边取对数两边取对数, ,化为化为f(x)logf(x)logc ca=g(x)loga=g(x)logc cb b④④图象法图象法: :含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数 462 2、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型及其解法：①①化为同底：化为同底：logloga af(x)=logf(x)=loga ag(x)g(x)，化为，化为f(x)=g(x),f(x)=g(x),再求解再求解, ,要注意验根要注意验根②②指、对数互化：指、对数互化： logloga af(x)=bf(x)=b，化为，化为f(x)=af(x)=ab b, ,要验根要验根③③换元法：换元法：logloga a2 2f(x)+blogf(x)+bloga af(x)+c=0,f(x)+c=0,设设y=logy=loga af(x),f(x),化为二次方程求解化为二次方程求解, ,要验根要验根. .⑤⑤图象法图象法: :含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。
含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数④④不同底对数方程不同底对数方程: :通过换底公式通过换底公式, ,化为同底求解化为同底求解. . 47四、函数的图象 48（一）函数的图象（一）函数的图象1 1、作图：、作图：⑴⑴利用描点作图法：利用描点作图法：①①确定函数的定义域；确定函数的定义域；②②化简函数解析式；化简函数解析式；③③讨论函数的讨论函数的性质性质( (奇偶性、单调性、周期性奇偶性、单调性、周期性) )；；④④画出函数的图象画出函数的图象⑵⑵利用基本函数图象的作图变换：利用基本函数图象的作图变换：平移变换：平移变换：y=f(x)y=f(x)h h＞＞0,0,右移右移y=f(x—y=f(x—ｈｈ) )h h＜＜0, 0, 左移左移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+kk k＞＞0, 0, 上移上移k k＜＜0,0,下移下移 49伸缩变换y=f(x)y=f(x)y=f(ωx)y=f(ωx)0 0＜＜ωω＜＜1,1,伸伸ωω＞＞1,1,缩缩y=f(x)y=f(x)y=Af(x)y=Af(x)0 0＜＜A A＜＜1,1,缩缩A A＞＞1,1,伸伸对称变换对称变换y=f(x)y=f(x)y=y=－－f(x)f(x)作作x x轴对称轴对称y=f(x)y=f(x)y=f(y=f(－－x)x)作作y y轴对称轴对称 50y=f(x)y=f(x)y=f(2ay=f(2a－－x)x)作关于直线作关于直线x=ax=a对称对称y=f(x)y=f(x)y=fy=f－－1 1(x)(x)作关于直线作关于直线y = xy = x对称对称y=f(x)y=f(x)y=y=－－f( f(－－x)x)作关于原点对称作关于原点对称y=f(x)y=f(x)y=f(|x|)y=f(|x|)保留保留y y轴右边图象轴右边图象, ,去掉去掉y y轴左边图象轴左边图象并作其关于并作其关于y y轴对称图象轴对称图象y=f(x)y=f(x)y=|f(x)|y=|f(x)|保留保留x x轴上方图象轴上方图象并将并将x x轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去 512 2、识图、识图对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象中特殊点的作用。
象中特殊点的作用3 3、用图、用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“ “形形” ”的直的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法的思想方法 52（二）（二）〖〖方法小结方法小结〗〗1 1、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关于对称中心或对称轴的对称点、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关于原点仍在图象上要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于对称，偶函数的图象关于y y轴对称，一个函数的反函数是它本身时，其图象关于直线轴对称，一个函数的反函数是它本身时，其图象关于直线y=xy=x对称等等对称等等2 2、证明曲线、证明曲线C C1 1与与C C2 2的对称性，即要证的对称性，即要证C C1 1 上任一点关于对称中心或对称轴的对称点上任一点关于对称中心或对称轴的对称点在在C C2 2上，反之亦然。
上，反之亦然3 3、方程、方程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数y=f(x)y=f(x)与与y=g(x)y=g(x)的图象的交点个数的图象的交点个数. .4 4、不等式、不等式f(x)f(x)＞＞g(x)g(x)的解集为的解集为f(x)f(x)的图象位于的图象位于g(x)g(x)的图象上方的那部分点的横坐标的图象上方的那部分点的横坐标的取值范围的取值范围. . 53五、函数的应用 54函数建模及应用 55（一）、课堂演练及讲评：1某银行准备设计一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为 ，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去问如何设定存款利率，可使银行获得最大利益？解：设当设定银行存款利率为 时，银行获得的利益为 ，则 04 八月 2024562、如图,正三角形ABC的边长为 ,O为 中心，过O点作直线分别交 两边AB、BC于不同两点M、N求 的取值范围。
MNOCBA 573、如图，已知抛物线 与圆 相交于A、B两点，圆与 轴正半轴交于点C， 是过弧ACB上的一点，且与圆相切又与抛物线交于M、N两点的直线， 是M、N两点到抛物线焦点的距离之和1）、求A、B、C、三点的坐标2）求 取最大值时， 的方程OBANMC 58 04 八月 202459（二）、小结：1、函数是研究动态、变化过程中变量间相互依存关系 的重要工具2、对动态问题（或变化过程的问题）的研究一般可通过建立函数模型、分析函数性质从而获得问题的解决，如实际应用中的最优化问题、范围问题及最值问题等3、函数建模的基本步骤及注意事项： （1）设元（动则有因） （2）列式（变中有定） （3）定域（动变有域） （4）求解 60（三）、课后练习题选：0海岸线P北东450Q4、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 角 方向300km海面P处，并以20km/h的速度向西偏北450方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km。
并以10km/h的速度不断增大问：几小时后该城市受台风的侵袭？该城市受台风侵袭时间会持续多久？ 04 八月 202461结束语•函数是高中数学的重点，它的内容丰富，所占的篇幅也比较大，应用也非常广泛，几乎贯穿于整个高中数学的始终特别是函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想是我们分析问题和解决问题的重要的数学思想和方法之一希望同学们一定要把它学好！ 62 同学们来学校和回家的路上要注意安全 同学们来学校和回家的路上要注意安全 。