单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,数学史讲义,,,印度与阿拉伯数学,,印度与阿拉伯数学,,4.1,印度数学,,,1921,—,1922,年间．印度河流域莫亨佐,·,达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前,3000,年左右．,,如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教,(,公元,4,世纪后改革为印度教,),，以及稍后,(,公元前,6,世纪,),兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．,,,印度地图,,,,印度地图,,,古代印度数学,印度数学繁荣于公元,6,世纪到,12,世纪之间，主要历史成就：,,（,1,）包括“零”在内的数码和十进位制记数法2,）运用正弦的三角计算3,）算术与代数,,,印度数学的发展可以划分为,3,个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期,(,约公元前,3000,一前,1400),，史称河谷文化；随后是吠陀时期,(,约公元前,10,世纪一前,3,世纪,),；其次是悉檀多时期,(5,世纪一,12,世纪,),．,4.1.1,古代,《,绳法经,》,,印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典,《,吠陀,》,当中，年代很不确定．吠陀即梵文,veda,，,原意为知识、光明。
《,吠陀,》,内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上．,,,,《,吠陀,》,（梵文，意为知识、光明）是印度雅利安人的作品，成书于公元前,15,－前,5,世纪，历时,1000,年左右，婆罗门教的经典，,其中的,《,绳法经,》,（前,8,－前,2,世纪）是,《,吠陀,》,中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分释迦牟尼（公元前,565,－公元前,486,年）传扬佛教时期，佛教是,古印度,的迦毗罗卫国（今,尼泊尔,境内）王子乔达摩,·,悉达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为,释迦牟尼,也就是,“,释迦族的圣人,”,的意思，门徒称他为佛），包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等吠陀时期（公元前,10,－前,3,世纪）,,《,吠陀,》,手稿,,（毛里求斯，,1980,）,,印度雅利安人的作品，,《,绳法经,》,出现在吠陀时代，包含毕达哥拉斯定理等数学知识,,这些,《,吠陀,》,中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分,《,测绳的法规,》(,Sulva,,sūtrus,),，,即,《,绳法经,》,，大约为公元前,8,世纪至公元前,2,世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。
给出了圆周率、根号,2,的近似值耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等4.1.2“,巴克沙利手稿”,关于公元前,2,世纪至公元后,3,世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于,1881,年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利,(,Bakhashali,),的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”．,其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号,:,（,1,）减号：“,12-7”,记成“,12 7+”,．,（,2,）零号：用点表示,0,，后来逐渐演变为圆圈 巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：,有一块公元,76,年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔,(,GwMior,),城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“,0”,．瓜廖尔数系为：,,古代印度数学,印度－数码阿拉伯数码,,阿拉伯数字,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,由印度人创造的,.,,,关于,0,的发明,印度,,0,较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明,.,,最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数,.,印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号,.,,后来，印度人又把零作为一个独立的数。
摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都不变,.”,,,关于,0,的发明,婆什迦罗在,《,算法本源,》,指出：“被除数为,3,、除数为,0,，得商 ，这个分母为,0,的分数，称为无限大量婆罗摩笈多在,《,婆罗摩笈多修正体系,》,中比较完整地叙述了零的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零,.”,,,用圆圈符号“,0”,表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“,0”,的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算．,印度数码在公元,8,世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在,13,世纪初，斐波那契,《,算经,》,中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色．,,4.1.3 “,悉檀多时期的印度数学”,,悉檀多,(,梵文,siddhanta,，,原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体 系”,),时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多,(,Aryabhata,Ⅰ,，,476,一约,550),、婆罗摩笈多,(,Brahmagupta,，,598,—,665),、,马哈维拉,(,Mahavira,，,9,世纪,),和婆什迦罗,(,Bhaskara,Ⅱ,，,1114,一约,1185),等．,,（一）阿耶波多,阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作,《,阿耶波多历数书,》(499),传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应,(,见图,),，成为今天的习惯，同时他以半径的,,作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为,3º45,’,的正弦差值表．,,阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”,(,kuttaka,，,原意“粉碎”,),方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法．,,,,印度科学史上有重要影响的人物，是最早的印度数学家，,499,年天文学著作,《,阿耶波多历数书,》,（圣使天文书）传世（相当于祖冲之,《,缀术,》,的年代），最突出之处在于对希腊三角学的改进,,,制作正弦表（,sine,一词由阿耶波多称为半弦的,jiva,演化而来），和一次不定方程的解法阿耶波多获得了,π,的近似值,3.1416,（与刘徽所得的近似值相当），建立了丢番图方程求解的“库塔卡”（原意为“粉碎”）法阿耶波多（公元,476,－约,550,年）,,,最早的印度数学家：阿耶波多（,476,－约,550,年）,,499,年,《,阿耶波多历书,》,(,圣使天文书,),“,阿耶波多号,”,人造卫星,,（印度，,1975,）,,π,的近似值,3.1416,,,婆罗摩笈多的两部天文著作,《,婆罗摩修正体系,》(628),和,《,肯德卡迪亚格,》(,约,665),，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵．,(,二,),婆罗摩笈多,,,在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。
婆罗摩笈多出生在印度的,7,大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一628,年发表天文学著作,《,婆罗摩修正体系,》,（宇宙的开端），这是一部有,21,章的天文学著作，其中第,12,、,18,章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的,“,瓦格布拉蒂,”,法，即现在所谓的佩尔（英，,1611,－,1685,年）方程的一种解法他还著有,《,肯德卡迪亚格,》,（约,665,年）,婆罗摩笈多（,598,－约,665,年）,,,乌贾因天文台,,婆罗摩笈多（,598,－约,665,年）,,628,年,《,婆罗摩修正体系,》,(,宇宙的开端,),,●比较完整地叙述了零的运算法则,●利用二次插值法构造了间隔为,15°,的正弦函数表,●获得了边长为 的四边形的面积公式（有误）：,实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，,婆罗摩笈多,未意识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有一边为零的四边形，得到了海伦公式三,),马哈维拉,,,7,世纪以后，印度数学出现了沉寂，到,9,世纪才又呈现出繁荣．如果说,7,世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么,9,世纪以后发生了改变．,耆那教徒马哈维拉的,《,计算方法纲要,》(The,Ganita-Sāra-Sangraha,),可以说是一部系统的数学专著，全书有,9,个部分：,(1),算术术语，,(2),算术运算，,(3),分数运算，,(4),各种计算问题，,(5),三率法,(,即比例,),问题，,(6),混合运算，,(7),面积计算，,(8),土方工程计算，,(9),测影计算．,●给出了一般性的组合数 公式,●给出椭圆周长近似公式：,,马哈维拉,马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉库塔王朝,(R11strak&ta),的宫廷里生活过很长一段时间．约公元,850,年，他撰写了,《,计算方法纲要,》(Ganitas1rasagraha),一书。
该书在印度南部曾被广泛使用，,11,世纪被译成泰卢固语20,世纪初，它被重新发现．,1912,年，在马德拉斯译为英文出版．,《,计算精华,》,是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学教材中的一些论题和结构在其中已可见到四,),婆什迦罗,,婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最高水平的著作,《,莉拉沃蒂,》(Līlāvatī),和,《,算法本源,》,，天文著作有,《,天球,》,和,《,天文系统之冠,》,．,,,,印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗，出生于印度南方的比德尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长古印度数学最高成就,《,天文系统之冠,》,（,1150,年，中国的南宋时期）和,《,天球,》,，还有两部婆什迦罗的重要数学著作,《,算法本源,》,、,《,莉拉沃蒂,》,婆什迦罗（,1114,－,1188,年）,,“,婆什迦罗号,”,人造卫星（印度第二颗卫星）,,（,1979,）,,婆什迦罗（,1114,－,1188,年）,,印度数学最高成就,《,天文系统极致,》,,《,莉拉沃蒂,》,,,《,莉拉沃蒂,》,共有,13,章：,,第,1,章给出算学中的名词术语；,,第,2,章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；,,第,3,章论各种计算法则和技巧；,,第,4,章关于利率等方面的应用题；,,第,5,章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；,,第,6,章关于平面图形的度量计算；,,第,7,至,10,章关于立体几何的度量计算；,,《,莉拉沃蒂,》,,第,11,章为测量问题；,,第,12,章是代数问题，包括不定方程；,,第,13,章是一些组合问题．,●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式,●能够认识并广泛使用无理数,,《,莉拉沃蒂,》,,婆什迦罗,《,天文系统之冠,》,著于,1150,年，分 “应用问题”、“代数”、“天球”和“行星数学”四篇。
书中，他全面系统地介绍了算术、代数和几何知识，反映了印度,12,世纪的记数法，记载了有关自然数、分数和负数的,8,种基本运算，收集了有关利息、商品交换、合金成分、土方、仓库容积、水利建设等各种与社会、经济活动有关的数学问题，给出了有关代数、几何、三角方面的一些成果关于印度的几何,婆罗摩笈多曾给出了一个求四边形面积的公式：,,,婆罗摩笈多定理：,,设圆内接四边形的各边依次是 ，其对角线为,,则,,,关于印度的三角,把圆分成,360,度或,21600,分，改进托勒密把直径分为,120,等分，而且把半径,120,等分用单位弧长度量半径，即 ，得,,,把半弦与全弦所对弧的一半相对应由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以,计算为中心,的实用化特点现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，可能在大约,10,、,11,世纪，它被阿拉伯人采用，后来传到欧洲，在那里，它们被改造成现在的形式这些工作受到,15,世纪欧洲算术家们的充分注意与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱此外，印度人用诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且,多半是经验的，很少给出推导和证明。