第八章 全同粒子8.1全同粒子的特性1、全同粒子的不可区分性全同粒子是指静止质量U、电荷Q、自旋S等固有性质完全相同的微观粒子例如，所有的电子是全同粒子，所有的质子也是全同粒子考虑两个全同粒子设它们在外场中运动，它们之间还可能存在相互作用在t=0时刻可以给这两个粒子编号为第一个粒子和第二个粒子在经典力学中通常认为根据它们的运动轨道在任意t时刻仍可区分哪一个是第一个粒子，哪一个是第二个粒子，即这两个全同粒子是可以区分的在量子力学中，体系的状态是用涉函数来描写的其中包括第一个粒子的位置坐标与自旋坐标；包括第二个粒子的位置坐标与自旋坐标；正比于第一个粒子的坐标为第二个粒子的坐标为的几率如果这两个全同粒子被一个垂直于X轴的不可穿透的平面隔板隔开，如下图：则在上图中，两个全同粒子的单粒子波函数无重叠对于第一个粒子而言，只有当时，单粒子波函数才可能不为零，而时，单粒子波函数为零对于第二个粒子而言，只有当时，单粒子波函数才可能不为零而时，单粒子波函数为零这说明：若，则=0，但将交换后所得到的可能不为零；若，则可能不为零，但将交换后所得到的=0，所以可得： （8.1-1）在上式中，若与都趋近于q，则得： （8.1-2）上式表明：如果两个全同粒子的坐标趋近于完全相同的几率为零，则单粒子波函数无重叠。
如果在上图中将隔板抽出，则两个全同粒子的单粒子波函数将出现重叠，使（8.1-1）式与（81.-2）式不再成立在上图中，在隔板左边测到的粒子总是第一个粒子，在隔板右边测到的粒子总是第二个粒子，所以，不论两个全同粒子是否有相互作用，也不论是否存在外场，如果两个全同粒子的单粒子波函数无重叠，则这两个全同粒子仍是可以区分的如果两个全同粒子的单粒子波函数有重叠，则这两个全同粒子便不可区分了2、全同粒子的交换对称性设表示将第i个粒子与第j个粒子进行交换的算符对于全同粒子，由于其固有性完全相同，所以的作用相当于将与交换设N个全同粒子的哈密算符为，必具有下述交换对称性： （8.1-3）体系的波函数（）所满足的薛定谔方程为： （8.1-4）以于上式得：可见若是薛定谔方程的解，则也是薛定谔方程的解从数学角度考虑，与可以是彼此独立的解，但从物理角度考虑，则应有下述全国性原理：两个全同粒子的相互代换不引起物理状态的改变全同性原理是量子力学中的基本假设之一。
根据全同性原理，与应是同一个状态，所以它们之间只能相差一个常数因子，以入表示这个常数因子得：由得：，则上式化为： （8.1-5） (8.1-6)上两式表示全同粒子波函数的交换对称性满足（8.1-5）式的称为对称波函数，满足（8.1-6）式的称为反对称波函数波函数的交换对称性不随时间改变在（8.1-4）式中，因右边的对称性与对的对称性相同，则左边的对称性也应与的对称性相同所以在（t+dt）时刻，dt的对称性与t时刻的对称性相同如果体系在某一时刻处于对称态（或反对称态），则体系将永远处于对称态（或反对称态）上如果一个多粒子体系中只有一部分粒子是全同粒子（或者同时存在几组全同粒子），则对于这一部分全同粒子而言，上面的讨论同样适用实验表明，自旋为半奇数的全同粒子组成的体系，其波函数是反对称的这类粒子服从费末——狄拉克（Fermi-Dirac）统计，因而被称为费米子。
自旋为零或正整数的全同粒子组成的体系，其波函数是对称这类粒子服从玻色——爱因斯坦（Bose-Einstein）统计，因而被称为玻色子如果一个粒子又是由多个费米子与多个玻色子构成的，则当这个粒子中包含奇数个费米子时，这个粒子便是费米子当这个粒子中包含偶数个费米子时，这个粒子便是玻色子这个结论很易从角动量的耦合性质或全同粒子波函数的交换对称性得到例如一个氢原子，从角动量耦合性质可知，氢原子中的电子与质子的自旋都是，它们的耦合只能为0或1，而相对轨道角动量只能为零或正整数，进一步耦合所得到的氢原子的总自旋也只能为零或正整数，所以氢原子是玻色子如果将两个内部状态相同的全同氢原子进行交换，则相当于交换了一对全同原子和一对全同质子，因电子与质子都是费米子，所以交换后体系的波函数相当于交换前体系的波函数改变符号两次，因而波函数不变，由此同样可得知氢原子是玻色子，多个内部状态相同的氢原子体系是全同玻色子体系8.2 全同粒子的波函数和泡利不相容原理考虑定态问题，设体系由N个全同粒子组成，哈密顿算符为，则定态薛定谔方程为： （8.2-1）对于全同玻色子体系，要求是对称的；对于全同费米子体系，要求是反对称的。
但求解上方程时，通常光不考虑对对称性要求，求出后再利用构成满足对称性要求的波函数1、粒子间无相互作用时，方程（8.2-1）在不考虑波函数对称性时的解由于粒子间无相互作用，则可表示为： （8.2-2）利用分离变量法可将方程（8.2-1）化为N个单粒子方程： （8.2-3）由上方程可以求出单粒子的能级和对应的本征函数若能级有简并，则可将中的Ki视为两个量子数的集合，其中一个为表示能级的量子数，另一个为表示简并序号的量子数当考虑束缚态时，为分立谱，的正交归一条件为： （8.2-4）上式的积分表示对位置坐标积分和对自旋坐标求和设表示第I个粒子处在第Ki个单粒子体征态中，则不考虑波函数的对称性要求时，体系的波函数为： （8.2-5）体系处于态时的总能量为： （8.2-6）如果将第i个粒子与第j个粒子交换，则由上式可知，总能量E保持不变，记为。
当作用于（8.2-5）式时，将变为，若，则；若，则而由、、……作用于（8.2-1）式可知，、、、……都是对应同一本征能量E的本征函数，可见能级是简并的除（8.2-3）式中可能出现的简并外，由于全同粒子的交换而产生的简并称为交换简并（交换简并只有在不考虑全国粒子波函数的对称性要求时才出现），通过两个和多个全同粒子的各种交换，所得的独立波函数的个数f即为交换简并度显然，处于相同状态的粒子之间的交换不可能得到不同的波函数若以置换算符P表示处于不同状态的粒子之间进行的某种交换（两个粒子的交换或多个粒子的交换），并认为各置换算符P中也包括不作交换的情况在内（即含单位算符），则波函数P个数就是交换简并度没有n1个粒子处于态，n2个粒子处于态……，则根据排列组合的知识可知，交换简并度为： （8.2-7）当各全同粒子所处的状态全不同时，得；当各全同粒子所处的状态全相同时，得f=1，即这时无交换简并根据（8.2-4）式可证： （8.2-8）其中。
2、粒子间无相互作用时，对称波函数与反对称波函数的构成当确定后，由各种置换所得到的P的任意线性组合是方程（8.2-1）的解由各P的某种线性组合可以构成描写全同玻色子体系的对称波函数或描写全同费米子体系的反对称波函数： （8.2-9）某种由（8.2-5）式表示由（8.2-7）式可知，上式的求和中共有项，所以归一化系数为，根据（8.2-8）式易证是归一化的当以作用于上式时，各P项之和与各P项之和是相同的，只是求和中各项的次序可能有所变化而已，所以由上式得到的是对称的 （8.2-10）上式中行列式展开后的每一项都是某一种P的形式当作用于上式时，在行列式中相当于两列相互调换，这使行列式改变符号，所以由上式得到的是反对称的设置换P中相当于进行的np次两个粒子的交换，则上式可改写为： （8.2-11）如果N个全同粒子所处的状态中有两个态相同，则在（8.2-10）式的行列式中有两个相同，因而行列式等于零。
可见不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理，简称泡利原理由于各费米子所处的状态不同，则由（8.2-7）式可知，上式的求和中共有N！项，这也是（8.2-10）式行列式中的N！项，所以上式与（8.2-10）式中的归一化系数为，根据（8.2-8）式易证是归一化的3、粒子间的相互作用不能忽略时的情况当N个全同粒子体系的粒子之间存在相互作用时，通常认为仍可设法得到单粒子方程（例如自洽场方法，其介绍从略），但体系的总能量E通常不能表示为各单粒子能量之和的形式，这时仍可证明交换简并仍然存在设方程（8.2-1）对应能量E的解为，以作用于方程（8.2-1）得：则将上式中的积分变量与互换后，其积分值应不变而当与互换后，保持不变，变为，则得：所以、、……都是对应同一本征能量E的本征函数，这就证明了交换简并依然存在至于描写全同玻色子体系的对称波函数和描写全国费米子体系的反对称波函数则仍可根据（8.2-9）式和（8.2-11）式得到当不考虑波函数的对称性时，由方程（8.2-1）可以求出本征函数组，然后根据（8.2-9）式与（8.2-11）式可以构成对称函数组和反对称函数组此外，若，则还可以利用构成各种混合对称函数组，其介绍从略。
对称函数组对N个全国玻色子体系构成完备基组反对称函数组对N个全国费米子体系构成完备基组但应注意，当N>2时，并不能对函数组与函数组展开，即当N>2时，函数组与函数组对于而言并不是完备的4、两个全同粒子组成的体系当不考虑波函数的对称性时，设（）是定态薛定谔方程的解，则 （8.2-12）其中S是经归一化后得到的对称波函数；是经归一化后所得到的反对称波函数 （8.2-13）由（8.2-12）式与（8.2-13）式可得： （8.2-14）若是对称的，则由上式只能得到，若是反对称的，则由上式只能得到，若（）与（）彼此独立，则由上式可以得到与如果不考虑自旋轨道耦合，则哈密顿算可以写为两部分之和。