无源超前网络公式推导1

6-2 常用校正装置及其特性常用校正装置及其特性1．无源校正网络．无源校正网络总阻抗：总阻抗：1 1212 2 111 () 11TRRRSR R CSCZRSRCRSC++=+=++分阻抗：分阻抗：2DZR=传递函数：传递函数：2121112121212211 12212( )( )( )11 ()11D C TUSZGSU SZRSRCSRC RRSR R CRRRRRSRCSRCSRCRRRR==++===æö++++÷ç+÷+ç÷ç+÷ç+èø令，，则有 . 分别代入上式，有：122RR R+=1212R RTCRR=+12 1 2RRRCTTR+==（（1）） 1 1( )1CTSGSTS +=×+其中为无源超前网络的增益系数，称为分度系数分度系数，显然1CK=1>频率特性：频率特性： （（2））1 1()1CjTGjj T+=×+相角函数：相角函数： （（3））1 1( )(1)(1)1arctanarctanCjTjTj Tj TTTæö+÷ç= Ð×÷= Ð +- Ð +ç÷ç÷ç+èø=-根据三角公式：，有： arctanarctanarctan1xyxyxy±±=m（（4））22(1)( )arctanarctanarctanarctan11CTTTTT TTT--=-==+×+根据反三角函数求导公式和除法求导法则 ' ' 2(arctan )1vvv=+'''2uvuuv vvæö-÷ç=÷ç÷çè ø将式（4）两边对求导并令其为零，可得到最大超前角频率。

即：m[]22222222232323222222(1)(1)(1)(1)2( )arctan1(1)11(1)(1)2 (1)(1)(1)(1)(1)(1)1111CddTTTTT ddTT TTTTTTTTT TT     éù-+---×êú==êú+éù-ëû+ êúêú+ëû -+-------===éùéù--+ êú+ êúêúêú++ëûëû22222(1)(1)11TT T - éù-+ êúêú+ëû令：，则有：，即：，从而可[]( )0Cd d=22(1) (1)0TT--=22(1)0T-=得到最大超前角频率最大超前角频率：： （（5））m 211mTT==将（5）代入（4）中，可得最大超前角最大超前角：m（（6））222 21(1)(1)1arctanarctanarctan1211m m mTTT TTT---===+æö÷ç+÷ç÷÷çèø由表达式可推知它是的增函数，因此由反正切函数的性质知也是的增函数。

1 2 -m根据三角公式：，式（6）也可写为：2arctanarcsin 1xx x= +2222211 1122arctanarcsinarcsinarcsin24(1)4(1)1142111arcsinarcsinarcsin(7)1421(1)m   -- --==== +-+-æö-÷ç+÷ç÷÷çèø---===++-++对式（7）进行恒等变换：11arcsinsin(1)sin1sinsin111 sin1sin(1sin)1sinmmmmmmmmm --==+=-+=-++ -=+=Þ+ÞÞ-ÞÞ最后得到给定给定时确定时确定的显式表达式：的显式表达式：m（（8））1sin 1sinmm+=-由最大超前角频率的表达式（5）有：m（（9））11111mT TTTT==×=×即在数值上数值上为两个转角频率的几何平均值几何平均值m其对数频率坐标为： （（10））11111lglglglg2mT TTTæö÷ç=×=+÷ç÷çèø由于、为无源超前网络频率特性的两个转角频率，因此式（10）说明最大超前角频1 T1 T率在对数频率坐标上正好位于两个转角频率之间那段直线的几何中心直线的几何中心。

m又由频率特性的伯德图渐进对数幅值曲线可知，在在频率区间内，1 1jT j T + +11,T Téùêúêúëû对数幅值曲线的斜率为 20db/dec；而当时为线，时亦为一水平直线，1 T因此在全部频率上，的对数幅值变化范围的对数幅值变化范围为：1 1jT j T + +1120lg/20lgTTæö÷ç=÷ç÷çèø（（11））而当时时的对数幅值的对数幅值为： m=1 1jT j T + +1120lg20lg10lg12mmjT jT +==+（（12））由式(2)知无源超前网络的频率特性为，，时其对数幅值为：1()11CjTGjj T+=×+m=1120lg()20lg20lg20lg10lg10lg1m Cm mjTGjjT +=+= -+= -+（（13））由于，所以，于是对比式（12）和（13）可知，伯德图上无源超前网1>20lg0-系统开环总增益（低频衰减） ，且且越大增益降低越多，但同时其微分作用（相位超前）越大增益降低越多，但同时其微分作用（相位超前）K也越大也越大。