第一章 索洛增长模型一、索洛模型的简介与某些前提假设条件该模型是经济学家老式上用于分析经济增长的重要模型几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点理解该模型实质上便是理解增长理论但该模型也存在缺陷：它不能解释不同步间上人均产出的巨大增长，也无法解释地区上不同人均产出的巨大差距按边际产品获得收益的老式途径）假设：（1）生产函数有关两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的；（2）除资本、劳动与知识以外的其她投入是相对不重要的，特别地，模型忽视了土地与其她自然资源规模报酬不变的假设可以让我们运用紧凑形式的生产函数进行分析：当，其中，是单位有效劳动的资本量，是单位有效劳动的产出定义，，及，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数[人均收入：]紧凑型生产函数假定满足，，由于：，的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资本量的增长而下降另被假设满足稻田条件：，其意思是在资本存量充足小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小它是保证经济的途径并不发散举例柯布－道格拉斯生产函数，阐明满足稻田条件的意义）二、生产投入的时间变化描述资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长：，（与是外生参数，而变量上的一点表达有关时间的一种导数，，为变量的变化率。
而变量的增长率指其变化的速率，它等于其自然对数的变化率，如，同理可得出）假设产出仅在消费与投资之间分派，其中投入投资的产出份额是外生且不变的，投入投资的一单位产出可获得一单位的新资本既有资本以速率折旧，即有：（索洛模型简化：只存在一种单一的产品，政府不存在，就业波动被忽视，生产正好可用于三种投入的总生产函数描述，并且储蓄率（）、折旧（）、人口增长（）与技术进步（）不变三、模型的动态学解释1、的动态学由于，求有关时间的导数，可得：它表达单位有效劳动的资本存量的变化率（）为如下两项的差：第一项为每单位有效劳动的实际投资；第二项为持平投资，即为使保持在既有水平上所必须进行的投资量理由是既有资本正在折旧及有效劳动量正在以（）的速率增长1）实际与持平投资图：实际投资持平投资（稻田条件保证了上图的实际投资曲线先陡峭，后下降，且只有相交一种点）（2）相位图：用相位图阐明作为的函数的的变化：如果初始不不小于，实际投资不小于持平投资，因而为正，反之，如果不小于，实际投资不不小于持平投资，因而为负，如果等于，则为零因此，无论在哪里开始，它总会收敛于0索洛模型中k的相图（3）平衡增长途径：当收敛于，则劳动与知识正分别以速率与增长。
资本存量K等于ALk，由于在处不变，那么，K正以速度增长，在资本与有效劳动正以速率增长的条件下，规模报酬不变的假设意味着产出Y正以该速率增长人均资本（K/L）及人均产出(Y/L)正以速率g增长即意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于一种平衡增长途径，模型的每个变量正以一种不变的速率增长，人均产出增长率只由技术进步惟一地决定四、储蓄率变化的影响政策最有也许影响索洛模型有参数是储蓄率1、对产出的影响的增长把实际投资线向上移动，因而上升，如图： 用于投资的储蓄率增长的效应不会立即跳跃到的新值上当时始等于的旧值，实际投资不小于持平投资，为正因此，开始上升，且持续上升，直达到到的新值才保持不变如下图所示：在这里，表达储蓄率增长的时刻，根据假设，在时刻跳跃，并且在此后保持不变由于的跳跃使实际投资以一种正的数量不小于持平投资，由0跳跃到一种严格的正的数量上逐渐由的旧值上升到其新值上，并且逐渐地返回到零此外，每个工人的平均产出Y/L等于当不变时，Y/L以A的增长率（）增长当正在增长时，Y/L的增长起因于A在增长，也起因于在增长因而Y/L的增长率不小于然而，当达到新值时，只有A的增长对Y/L的增长产生作用。
Y/L的增长率恢复到因此，储蓄率的永久性增长产生了每个工人的平均产出增长率的临时性增长此时的上升，最后会增长至新增储蓄率被用于维持的高水平每个工人的产出增长率初始为，在时刻向上跳跃，然后返回到其初始水平因而每个工人的平均产出开始上升并且高于其处在平衡途径上时的水平，并且接着逐渐返回到一种较高的途径上，后者同第一种途径平行储蓄率的变化具有水平效应，但不具有增长效应，它变化了经济的平衡增长途径，因而也变化了任何时点上每个工人的产出水平但这并不影响平衡途径上每个工人的平均产出增长率在索洛模型中，只有技术进步的增长率的变化具有增长效应，所有其她变化只会产生水平效应2、对消费的影响每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出乘以该产出用于消费的份额在时刻处呈非持续的变化每单位有效劳动的消费初始发生向下跳跃随着的上升与仍处在较高水平上，消费逐渐地上升储蓄对消费的影响分析：假设表达均衡增长途径上单位有效劳动的消费在平衡增长途径上，实际投资等于持平投资因此，，其中，是由、、与决定的因此，可将表达为：对上式求有关的导数，得：由于的增长会提高，即，那么，的增长与否在长期内提高或减少消费，这取决于资本边际产品与否不小于或不不小于。
当的上升，每单位有效劳动的投资的增长必然会等于与的乘积，以便使增长可被维持如果是不不小于，那么，由增长的资本所获得的产出的增长并局限性以把资本存量维持在较高水平上，消费必然下降以便保持较高的资本存量如果是不小于，那么，由必存在相称高的产出去保持处在较高水平上，消费上升的上升与否提高或减少消费取决于是处在的斜率的大小，如果不小于持平投资的斜率，则的上升提高消费；不不小于持平投资的斜率，则的上升减少消费，等于持平投资的斜率－平行，则的的边际变动不会对消费产生影响，且在多种平衡增长途径上，消费处在其最大的也许水平上此时的值就是出名的资本存量的黄金律水平3、储蓄在长期内对产出的影响（定量分析）： （1）为求出，需先求出，我们懂得，是由＝0的条件界定的，因此，满足：对上式求有关的导数，则得出： （2）把（2）式代入（1）式得到： （3）将（3）两边同乘以转变为弹性，另运用去替代，得到：由于是在处的产出有关资本的弹性用表达这个弹性，即可获得：如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长途径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量是。
因而，如果资本获得其边际产品，平衡增长途径上分派给资本的总收入份额是或储蓄率的产出弹性，较小意味着实际投资曲线更弯曲成果，曲线的向上移动只会把它与持平投资线的交点向上移出一点；及的变化对产生较小的影响）4、收敛速度如何快地趋向我们懂得是由决定的，由于因此，可写出当趋于，趋于0在附近，的一阶泰勒展开式的近似值为：设表达，那么，上式可变为：上式表达，在平衡增长途径附近，大体同的距离成比例的速度趋向，即的增长率大体不变且等于，这意味着（微分方程解）：，其中是的初始值规定出？，对求有关的微分，并且在处所形成的体现式取值，得到：因此，以速率收敛于其平衡增长途径值同样以趋向的速率趋向，即假定，即，，即用每个工人的平均产出的增长率，，，与每年走完其各自与的剩余距离的4%，且大体花的时间走完与其平衡增长途径值的一半距离）索洛模型的核心结论是：如果在市场中资本所规定的报酬是其对产出的奉献，那么，物质资本积累的变化并不能解释世界范畴的经济增长的明显部分或国家间的收入差别例如，从直接方式看：如果两个经济间每工人平均产出的差别为X倍，那么两个经济间每工人平均产出对数的差为，由于每工人平均产出有关每工人平均资本的弹性是，每工人平均资本对数必须有数量为的差距。
那么，每工人平均资本（）的差别为或{由该式得到：，，，如果X＝10倍，＝，那么，差别为1000倍，这是不现实的从间接方式看，由于模型无法根据每工人平均资本的差别来解释每工人平均产出的较大的变化，因此，考虑资本所需要的差额意味着资本报酬率的巨大差别（卢卡斯，1990）如果市场是竞争性的，资本的报酬率等于其边际产品减去折旧用柯布－道格拉斯生产函数来阐明这一点，即，产出有关资本的弹性为，资本的边际产品为：，即资本的边际产品有关产出的弹性为如果，每个工人平均产出的10倍的差额来源于每个工人平均资本的差别，这意味着资本的边际产品的100倍的差别（现实 并不存在这种报酬率差别的证据）因此，每个工人平均实物资本的差别无法阐明我们所观测到的每个工人平均产出差别，或者我们所观测到的每个工人平均产出差别能由每个工人平均实物资本的差别来解释固然，索洛模型中，将每个工人平均产出变化的其她潜在来源是劳动的有效性但这变量是外生的A是什么？是杂物袋五、经验性应用在索洛模型中，第个工人平均产出的长期增长只依存于技术进步但短期增长或者来源于技术进步或者来源于资本积累1、增长因素分析法其中，R（t）是索洛剩余上式是指每个工人平均产出的分解为每个工人平均资本的增长的奉献与剩余项－索洛残值，它有时被解释为对技术进步奉献的度量。
2、收敛性鲍默尔（1986）检查16个工业化国家间由1870－1978年的收敛性模型，如下：上式中，如果b为负，则存在收敛性，否则不存在收敛性六、环境与经济增长1、自然资源与土地：一种基本情形：其中，R表达生产中可运用的资源，T表达土地数量同样，由于土地数量是固定的，则，资源禀固定及在生产中被运用，资源使用必然会最后下降，则，由于在生产函数中资源与土地的浮现意味着不会收敛于某一值考虑到资本运动方程：，意味着K的增长率为：，为使K的增长率不变，必然不变，那么，Y与K的增长率必然相等对两边取对数，得到：给上式两边求时间的导数，得到：如果经济处在一种平衡途径上，与一定相等，代入上式得：在平衡增长途径上每个工人平均产出增长率为：上式表白，平衡增长途径上每个工人平均收入的增长率或者为正，或者为负即资源与土地的限制会引起每工人平均产出最后下降一种解释性计算：将原假设与由假设与替代，这种假设经济中，不存在资源与土地的限制――两者均同人口同增长那么，使用前面推导措施可得出：源于资源与土地限制的（增长阻力）等于这种假设情形中的增长与资源和土地限制情形中的增长之间的差额：因此，增长阻力随资源份额（）、土地份额（）、正在下降的资源运用率（）、人口增长率（）与资本份额（）而递增。