实数完备性证明

一一. .七大定理循环证明七大定理循环证明: :1.1.单调有界定理单调有界定理区间套定理区间套定理证明：已知 （n） ， ，由单调有界定理知{}na1nananb1bna存在极限，设= r， nlimna同理可知{}存在极限，设= ，由（）=0 得=0nb nlimnbrnlimnnab rr即rrn，有，令，有，n，有Qnanbnnarrnbnarnb下面证明唯一性用反证法如果不然则 ，同时对任意 ，，21rr Aa 1ra 2ra 对任意 有 ，不妨设，b1rb 2rb 21rr 令 显然 ，， 221'rrr2' 1rrrAr 'Br '这与是 R 的一个分划矛盾 唯一性得证定理证完BA |2.2.区间套定理区间套定理确界定理确界定理证明：由数集 A 非空，知，不妨设 不是 A 的上界，另外，Aaa知是 A 的上界，记[，]=[ ，b1a1ba]，用，的中点二等分[1a，]，如果是 A 的上界，b1a1b211ba  1b211ba 则取[，]=[1a，]；如果不是 A 的上界，则取[，]2a2b211ba  211ba  2a2b=[，]；用，的中点二等分[，]……如此继续 211ba  1b2a2b222ba  2a2b下去，便得区间套[ ， ]。

其中 不是 A 的上界，是 A 的上界nanbnanb由区间套定理可得， 唯一的，使== rI1],[nnnbarnlimna nlimnb，由（n=1，2，……） ，Axxnb令，= r r 是 A 的上界nx nlimnb而 由= r 知, 0 nlimna，arN，nN，npf使使使 , 0从而 r=supAX，arA，Xnpp使同理可证非空有下界数集有下确界定理证完3.3.确界定理确界定理→→有限覆盖定理有限覆盖定理证明：设 E 是闭区间[]的一个覆盖ba使定义数集 A={|区间[]在 E 中存在有限子覆盖}ax xa使从区间的左端点开始 .由于在 E 中有一个开区间覆盖 ,因此ax a及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集 A 是非空的.从a数集 A 的定义可见,若A,则整个区间[]A.xxa使若 A 无上界,则 b A,那么[]在 E 中存在有限子覆盖.ba使若 A 有上界, 由确界定理可得 r,使 r=supA，都有A事实上，使得rx px,0)(fxr ,yxxrry)(f[]在 E 中存在有限子覆盖，[][]在 E 中存在有Qya使xa使ya使限子覆盖下证 b r。

用反证法如果不然，r b，则 r []因此，在ba使E 中存在有一开区间覆盖E覆盖 r0a0bE0a0br pp由上面论证知A，也即区间[]在 E 中存在有限子覆盖，向0a0aa使这个有限子覆盖再加上开区间，E即成为[]的覆盖 A，与 r=supA 矛盾定理证完ba使0b4.用有限覆盖定理证明聚点定理用有限覆盖定理证明聚点定理证明：设 E 为直线上有界无穷点集，则存在M>o，使 Ec[一 M，M]中任何点不是 E 的聚点，则对每一个 x∈[一 M，M]，必存在相应的 6>o，使得在 U(x，8)内至多含有 E 的有限多个点设 H 一{U(x，文)|x∈[一 M，M])则 H 是[一 M，M]的一个开覆盖由有限覆盖定理，H 中存在有限个开覆盖 U(x， ，艿 ，)(j 一 1，2，3……)构成[一 M，M]的一个开覆盖，当然也覆盖了 E由邻域 U(x， ，文，)的原意，在其内至多含有 E 的有限多个点 x，(j 一 1，2，3，……)故 E 为有限点集，这与题设 E 为无穷点集相矛盾故[一 M，M]中至多有 E 的一个聚点5.用聚点定理证明致密性定理用聚点定理证明致密性定理证明：若数列{x。

}中含有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，显然收敛若数列{x}不含有无限多个相等的项，则由聚点定理，点集{x}至少有一个聚点，记为 x ，由聚点的等价定义令￡1—1，存在 x1∈U(xo，￡1)n{x}且 x1≠Xo；令￡2 一 min{1／2，J xn】一 xo f)，存在 x2∈U(xo，￡2)n{x)且 x2≠xo(显然 x1)；令 ek—min{1／k，I xk—xo{)，存在 xk∈U(x ，￡k)n{xk≠xo(显然 xi，i 一 1，2，3，……k 一 1)；从而得到{x)的子列{xt)，它的各项互不相同，且 Ixk—xo I<￡k≤1／k于是{xk)收敛于 x6 6．紧致性定理．紧致性定理柯西收敛定理柯西收敛定理证明：必要性已知收敛，即，=r，即，}{nxRr nlimnx0f，当，有|-r|NNn fnx 2p因此，只要，，有|-|=|-r+r-| |-r|+|r-Nn fNm fnxmxnxmxnx|mxp充分性先证有界对，，当，，有|-}{nx1NNn fNm fnx|mx1p取定=N+1，则只要，有|-|，从而||=|-0nNn fnx 0nx1pnxnx+|+||， 0nx0nx1p0nx令 M=max（||，……，||，1+||） ，则|| M（） 。

1xNx 0nxnxpn下证有极限存在有界，由紧致性定理可得，的子}{nxQ}{nx}{nx数列且收敛于 r}{ knx即，，当时，有|-r|0fKKk f knx 2p另外，，当，，有|-|1N1Nn f1Nm fnxmx 2p取 N=max（，） ，则只要，取，则|-r|=|-+1Kn1NNn fNk f0nxnx 0kx-r|= 0kx|-|+|-r|定理证完nx 0kx 0kxp nlimnx7 7．柯西收敛定理．柯西收敛定理单调有界定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列用反证法和柯西收敛定}{nx理若不存在极限则}{nx，，，有-=|-|00fNNn fnxNxnxNxp依次取=1，，使-，1N1nf1N1nx1x0=，，使-，2N1n12nn f2nx1nx0……，=，，使-kN1knfknkNknx1knx0把它们相加，得到- ，，有，与 knx1x0kG01 xGk fGxknf有界矛盾，故必有极限定理证完}{nx}{nx二二. .七大定理相互证明七大定理相互证明1.1.单调有界定理单调有界定理→→确界定理确界定理证明：已知实数集 A 非空。

不妨设 不是 A 的上界，另外，Aaa知是 A 的上界，记= ，b1aa= ，用，的中点二等分[1a，]，如果，则取1bb1a1b211ba 1b211ba  B=1a， =；如果，则取=，=；……如2a2b211ba  211ba  A2a211ba 2b1b此继续下去，便得两串序列其中单调上升有上界（例如}{na}{nbAan） ，单调下降有下界（例如）并且=由1bBbn1annab 211ab  )(n单调有界定理，知 r，使= r由（）=0 有nlimnanlimnnab +（）= rnlimnannab 是 A 的上界，，有（n=1，2，……） ，Q}{nbAxxnb令，= r r 是 A 的上界nxnlimnb而 由= r 知, 0nlimna，arN，nN，npf使使使 , 0从而 r=supAX，arA，Xnpp使同理可证非空有下界数集有下确界定理证完2.2.确界定理确界定理→→单调有界定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列由确界定理可得， r }{nx，使 r=sup。

}{nx，并且rxnn使 ,rx，x，NNff使0，即rxxrNnnN使 ,fp||rxn= rnlimnx单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明定理证完3.3.确界定理确界定理→→区间套定理区间套定理证明：由[，] [，]，知是单调上升有上界的实数列，1na1nbnanb}{na是单调下降有下界的数列且是的上界，是的下界设}{nb1bna1anb= r，=，由确界定理对的证明知nlimnanlim nbrr=sup，=inf由（）=0 得=0 即= }{nar}{nbnlimnnab rrrrsup=inf}{na}{nbn，有narnb唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3） 定理证完4.4.确界定理确界定理→→有限覆盖定理有限覆盖定理证明：设 E 是闭区间[]的一个覆盖ba使定义数集 A={|区间[]在 E 中存在有限子覆盖}ax xa使从区间的左端点开始 .由于在 E 中有一个开区间覆盖 ,因此ax a及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集 A 是非空的.从a数集 A 的定义可见,若A,则整个区间[]A.xxa使若 A 无上界,则 b A,那么[]在 E 中存在有限子覆盖.ba使若 A 有上界, 由确界定理可得 r,使 r=supA。

，都有A事实上，使得rx px,0)(fxr ,yxxrry)(f[]在 E 中存在有限子覆盖，[][]在 E 中存在有Qya使xa使ya使限子覆盖下证 b r用反证法如果不然，r b，则 r []因此，在ba使E 中存在有一开区间覆盖E覆盖 r0a0bE0a0br pp由上面论证知A，也即区间[]在 E 中存在有限子覆盖，向0a0aa使这个有限子覆盖再加上开区间，E即成为[]的覆盖 A，与 r=supA 矛盾定理证完ba使0b5.5.确界定理确界定理→→紧致性定理紧致性定理证明：设数列是有界数列定义数集 A={ |中大于 的点有}{nxx}{nxx无穷多个}有界 A 有上界且非空由确界定理可得 r,使Q}{nxr=supA则，有不是 A 的上界 中大于的项有无穷0fr}{nxr多个是 A 的上界 中大于的项只有有限个Qr}{nxr在（，）中有的无穷多项，即n，，rr}{nx,0Nn f使（，）nxrr对，，使（，） ，即|-r|11n1nx1r1r1nx1p取，，有|-r|，……如此继续下去，21 12nn f2nx21p取，，有|-r|，由此得到的子数列，k1 1kknn fknxk1p}{nx}{ knx当时，krx kn存在收敛子数列。

定理证完}{nx6.6.区间套定理区间套定理单调有界定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列b 是它的一个上界，令}{nx=-1，二等分[1a，]，其中必有一区间含的无穷多项，1a1x1b}{nx记其为[，]，二等分[，]，……如此继续下去，便得区2a2b2a2b间套[ ， ]，满足，[ ， ]含的无穷多项由区间套定nanbnnanb}{nx理可得， 唯一的，使== r则对I1],[nnnbar nlimnanlim nbn，，有0Nn frppnnba r取，[，]含的无穷多项，则 M，使[，]Nn f00na 0nb}{nxMx0na 0nb当 m M 时，有[，]如果不然，，有，则在fmx0na 0nbMm f10nb1mx[，]中最多只有的前项，与 [，]的构造矛盾从而0n。