第,12,章,12.1,复数的概念,通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件,.,课标要求,素养要求,通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象及数学运算素养,.,课前预习,课堂互动,分层训练,内容索引,课前预习,知识探究,1,1.,复数的有关概念,(1),定义：形,如,_,(,a,，,b,R),的数叫作复数，其中,i,叫作虚数单位,，,_,所,组成的集合叫作复数集，记作,C.,(2),复数通常用字母,z,表示，即,z,a,b,i(,a,，,b,R),，,其中,_,与,_,分别,叫作复数,z,的实部与虚部,.,a,b,i,全体复数,a,b,(1),对于复数,z,a,b,i(,a,，,b,R),，,当且仅当,_,时,，,z,是实数；,当,_,时,，,z,叫作虚数；,当,_,时,，,z,b,i,叫作纯虚数,.,这样，复数,z,a,b,i(,a,，,b,R),可以分类如下：,2,.,复数的分类,b,0,b,0,a,0,且,b,0,(2),集合表示：,3,.,复数相等,a,c,b,d,(2),两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,.,点睛,复数概念的说明：,复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成,a,b,i(,a,，,b,R),的形式,.,a,b,i(,a,，,b,R),中，虚部是,i,的实数系数，不含,i.,复数,z,a,b,i,只有在,a,，,b,R,时才是复数的代数形式，否则不是,.,1.,思考辨析，判断正误,(1),若,a,，,b,为实数，则,z,a,b,i,为虚数,.(,),提示,当,b,0,时，,z,a,b,i,为虚数,.,(2),若,a,为实数，则,z,a,一定不是虚数,.(),(3),如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于,0,，那么这两个复数相等,.(,),(4)i,4,1,.(,),C,A.0 B.1,C.2,D.3,3.,已知复数,z,a,2,(2,b,)i,的实部和虚部分别是,2,和,3,，则实数,a,，,b,的值分别是,(,),C,4.,若,(,x,y,2),(,x,y,4)i,0(,x,，,y,R),，则,x,_,，,y,_.,3,1,课堂互动,题型剖析,2,题型一复数的概念,【例,1,】,写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数,.,解,的实部为,2,，虚部为,3,，是虚数；,的实部为,0,，虚部为,0,，是实数,.,复数,a,b,i(,a,，,b,R),中，实数,a,和,b,分别叫作复数的实部和虚部,.,特别注意，,b,为复数的虚部而不是虚部的系数,.,思维升华,【训练,1,】,下列命题中，真命题的个数是,(,),若,x,，,y,C,，则,x,y,i,1,i,的充要条件是,x,y,1,；,若,a,，,b,R,且,a,b,，则,a,i,b,i,；,若,x,2,y,2,0,且,x,，,y,C,，则,x,y,0.,A.0 B.1,C.2,D.3,A,解析,由于,x,，,y,C,，所以,x,y,i,不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以,是假命题；,由于两个虚数不能比较大小，所以,是假命题；,当,x,1,，,y,i,时，,x,2,y,2,0,成立，所以,是假命题,.,故选,A.,题型二复数的分类,【迁移,1,】,(,变设问,),本例中条件不变，当,m,为何值时,z,为实数？,【迁移,2,】,(,变设问,),本例中条件不变，当,m,为何值时,z,0?,即,m,的取值范围为,(,1,，,2),(2,，,3).,根据复数的概念求参数的一般步骤：,第一步，判定复数是否为,a,b,i(,a,，,b,R),的形式，实部与虚部分别为什么；,第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；,第三步，解相应的方程,(,组,),或不等式,(,组,),；,第四步，明确结论,.,思维升华,【训练,2,】,(1),已知复数,z,a,(,a,2,1)i,是实数，则实数,a,的值为,_,；,(,2),若复数,z,sin 2,(1,cos 2,)i,是纯虚数，则,_,_,.,1,解析,(1),z,是实数，,a,2,1,0,，,a,1.,(2),由题意知,sin 2,0,，,1,cos 2,0,，,题型三两个复数相等,【例,3,】,已知,x,2,y,2,2,xy,i,2i,，求实数,x,，,y,的值,.,解,x,2,y,2,2,xy,i,2i,，,求解复数相等问题,复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,.,转化过程主要依据复数相等的充要条件,.,基本思路是：,(1),等式两边整理为,a,b,i(,a,，,b,R),的形式；,(2),由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；,(3),解方程组，求出相应的参数,.,思维升华,解,设方程的实数根为,x,m,，则原方程可变为,解得,a,58.,一、牢记,3,个知识点,1.,复数的概念,.,2.,复数的分类,.,3.,复数相等的充要条件,.,二、掌握一种思想,方程思想,三、注意,2,个易错点,1.,两个虚数不能比较大小,.,2.,z,是复数，,z,2,0,不一定成立,.,课堂小结,分层训练,素养提升,3,一、选择题,1.,设复数,z,满足,i,z,1,，其中,i,为虚数单位，则,z,等于,(,),A.,i,B.i,C.,1,D.1,解析,i,2,1,，,i,2,i(,i),1,，,z,i.,A,2.,设,a,，,b,R,，,i,是虚数单位，则,“,ab,0,”,是,“,复数,a,b,i,为纯虚数,”,的,(,),A,.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C,.,充要条件,D,.,既不充分也不必要,条件,解析,若复数,a,b,i,为纯虚数，则,a,0,且,b,0,，故,ab,0.,而由,ab,0,不一定能得到复数,a,b,i,是纯虚数，故,“,ab,0,”,是,“,复数,a,b,i,为纯虚数,”,的必要不充分条件,.,B,A,4.,如果,z,m,(,m,1),(,m,2,1)i,为纯虚数，则实数,m,的值为,(,),A.1,B.0,C.,1,D.,1,或,1,B,m,0.,5.,(,多选题,),在给出的下列几个命题中错误的是,(,),A.,若,x,是实数，则,x,可能不是复数,B.,若,z,是虚数，则,z,不是实数,C.,一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零,D.,1,没有平方根,解析,因实数是复数，故,A,错，,B,正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故,C,错；因,i,为,1,的平方根，故,D,错,.,ACD,二、填空题,6.,若实数,x,，,y,满足,(,x,y,),(,x,y,)i,2,，则,xy,的值是,_.,1,7.,已知,z,1,4,a,1,(2,a,2,3,a,)i,，,z,2,2,a,(,a,2,a,)i,，其中,a,R,，若,z,1,z,2,，则,a,的取值集合为,_.,0,故,a,的取值集合为,0.,8.,已知关于,x,的方程,x,2,x,3,m,i,2,x,i,有实数根，则实数,m,的值为,_,，方程的实根,x,为,_.,当,m,2,时，,z,是实数,.,当,m,2,且,m,3,时，,z,是虚数,.,当,m,3,或,m,4,时，,z,是纯虚数,.,10.,已知,M,1,，,(,m,2,2,m,),(,m,2,m,2)i,，,P,1,，,1,，,4i,，若,M,P,P,，求实数,m,的值,.,解,M,P,P,，,M,P,，,(,m,2,2,m,),(,m,2,m,2)i,1,或,(,m,2,2,m,),(,m,2,m,2)i,4i.,由,(,m,2,2,m,),(,m,2,m,2)i,4i,得,综上可知,m,1,或,m,2.,11.,下列四个命题：,两个复数不能比较大小；,若复数,z,满足,z,2,R,，则,z,R,；,若实数,a,与,a,i,对应，则实数集与纯虚数集一一对应；,纯虚数集相对复数集的补集是虚数集,.,其中真命题的个数是,_.,0,解析,中当这两个复数都是实数时，可以比较大小,.,若,z,i,，则,z,2,1,，满足,z,2,R,，但不满足,z,R.,若,a,0,，则,a,i,不是纯虚数,.,由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知此命题不正确,.,1,2,13.,已知集合,M,(,a,3),(,b,2,1)i,，,8,，集合,N,3i,，,(,a,2,1),(,b,2)i,满足,M,N,，求整数,a,，,b,.,解,依题意得,(,a,3),(,b,2,1)i,3i,，,或,8,(,a,2,1),(,b,2)i,，,或,(,a,3),(,b,2,1)i,(,a,2,1),(,b,2)i.,由,得,a,3,，,b,2,，,由,得,a,3,，,b,2.,中，,a,，,b,无整数解不符合题意,.,综上所述得,a,3,，,b,2,或,a,3,，,b,2,或,a,3,，,b,2.,14.,已知复数,z,1,4,m,2,(,m,2)i,，,z,2,2sin,(cos,2)i(,其中,i,是虚数单位，,m,，,，,R).,(1),若,z,1,为纯虚数，求实数,m,的值；,解,z,1,为纯虚数，,m,2.,(2),若,z,1,z,2,，求实数,的取值范围,.,4,cos,2,2sin,sin,2,2sin,3,(sin,1),2,2.,又,1,sin,1,，,当,sin,1,，,min,2,，,当,sin,1,，,max,6.,2,6,，,即,的取值范围为,2,，,6.,本节内容结束,。