矩阵的特征值与特征向量

§4.1 矩阵的特征值与特征向量 一、基本概念 三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量 特征多项式与特征方程二、特征值与特征向量的计算一. 方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义定义1:设 是 阶方阵，若数 和 维非零列向量 ，使得成立，则称是方阵 的一个特征值，为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量1.定义 2.求法 3.性质Ax4x注：是方阵（2）特征向量 是非零列向量（4）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一从几何上来看，特征向量x 的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变 或者方向相反 ,至于 时，特征向量就被线性变换变成0.2. 特征值与特征向量的求法或已知所以齐次线性方程组有非零解或定义2：数是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式称为矩阵 的特征方程求特征值、特征向量的求解过程：求出 即为特征值;把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组的非零解即为所求特征向量。

齐次线性方程组的通解（去掉零解）即为与λ对应的全部特征向量解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例1： 求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解齐次线性方程组为当 时，系数矩阵自由未知量:令 得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量齐次线性方程组为当 时，得基础解系常数)是对应于的全部特征向量例３ 设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：思考：对角阵的特征值是什么？三角形矩阵的特征值是什么？例题证明：一个特征向量只能对应一个特征值.证 假设 是 A 的一个特征向量，其对应的特征值有两个和 .移项则所以齐次线性方程组AXo有非零解X1例3．试证：n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零证：必要性： 如果A是奇异矩阵，充分性 ：设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X10E-A|则|A|0A|(-1)n|A|0， 即0是A的一个特征值由特征值的定义，有 AX10X1o (X1o)，由此可知|A|0，即A为奇异矩阵。

三、特征值与特征向量的性质 【性质１】 设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值性质2】如果n阶方阵A的全部特征值为l1，l2， ，ln， （k重特征值算作k个特征值），则 |A - lE |= |(A - lE)T| =|AT - lE |∴ l1l2 ln＝|A|证明 由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|≠０，则Ａ的任一个特征值都不为零．则ＡＸ＝λＸ，因而即λ-１是A-１的特征值，x也是A-１的对应于λ-１的特征向量.【性质3】若Ｘ是Ａ的属于特征值λ的特征向量，【性质4】即 若f (x)是一个多项式，λ是A的特征值．则f (λ)是f (A)的特征值, 且对应特征向量相同.证明对应特征向量是:对应特征向量也是:解 由例7 已知矩阵 的3个特征值为 ，得解之求 x，y.概念练习：4、方程(lE-A)xo的解都是特征值l的特征向量吗？1、设A是n阶方阵，如果数l和n维非零列向量x满足 ________，则称l为A的特征值，x称为A的对应于特征值 l的特征向量Axlx2、数l为A的特征值 l满足_________lE-A|03、向量x为A的对应于特征值l的特征向量 x满足 ___________。

lE-A)xo5、矩阵 lE-A 称为 ______________，7、方程 |lE-A|0 称为______________6、l 的 n 次多项式 |lE-A| 称为________________.A 的特征矩阵A 的特征多项式A 的特征方程课堂练习题 一、单选题１．可逆矩阵Ａ与矩阵（ ）有相同的特征值．①ＡＴ； ② Ａ－１； ③ Ａ２； ④ Ａ＋Ｅ２．Ａ为n阶方阵，则（ ）结论成立．① Ａ可逆，则矩阵Ａ属于特征值λ的特征向量也是Ａ－１属于λ－１的特征向量；② Ａ的特征向量既为方程 （λＥ－Ａ）Ｘ＝０的全部解；③ 特征向量的线性组合仍是特征向量．④ Ａ与ＡＴ特征向量相同． 课堂练习题 一、单选题答案： １．①； ２．①; 3. ④３．设Ａ是一个可逆矩阵，则其特征值中（ ）①．有零特征值 ② 有二重特征值零③ 可能有也可能无零特征值 ④ 无零特征值二、填空题课堂练习题１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则|A|＝（ ），Ａ－１的特征值为（ ），ＡＴ的特征值为（ ），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（ ）．２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ） ．３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ ） ．－６１，-1/2, 1/3１，－２，３． 4, 1, 1600, 1二、填空题课堂练习题4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，则Ａ的特征值为（ ）．５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ ）。

1, -1, 3-72会求方阵的特征值和特征向量熟记特征值和特征向量的性质作业： P29：2， 4，5，6,7,8要求：。