微积分发展史 微积分发展史<<隐藏窗体顶端中国古代数学对微积分创立的贡献 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希 腊的阿基米德都作出了各自的贡献对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分 思想在古代中国早有萌芽， 甚至是古希腊数学不能比拟的 公元前 7 世纪老庄哲学中就有无 限可分性和极限思想；公元前 4 世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内） 、无 穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方 锥体积，求得圆周率约等于 3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的 深刻体现 微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利 等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的而这些思想和方法从刘徽对圆锥、 圆台、 圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖恒求球体积的方法中都可找到 北宋大科学家 沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数 、 求和的研究。
南宋大数学家秦九韶于 1274 年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举 世闻名的“大衍求一术”??增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早 500 多 年特别是 13 世纪 40 年代到 14 世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现 了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、 “正负开方术”“大衍求一术” 、 、 “大衍总数术” （一次同余式组解法）“垛积术” 、 （高阶等差级数求和）“招差术” 、 （高次差 内差法）“天元术” 、 （数字高次方程一般解法）“四元术” 、 （四元高次方程组解法） 、勾股数 学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出 成果， 中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作， 其中许多都是微积分得以创立的关键 中国已具备了 17 世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门可惜中 国元朝以后， 八股取士制造成了学术上的大倒退， 封建统治的文化专制和盲目排外致使包括 数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了 微积分的诞生 微积分的产生是数学上的伟大创造 它从生产技术和理论科学的需要中产生， 又反过来广泛 影响着生产技术和科学的发展。
如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少 的工具 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期早在古希腊时 期，欧多克斯提出了穷竭法这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺 之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提 出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周这是极限论思想的成功运用 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》 中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法但阿基 米德的贡献真正成为积分学的萌芽 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、 极小值问题而产生的 微分方法的第一 个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念， 他给同了如何确定极大值和 极小值的方法 其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法， 进一步推动 了微分学概念的产生 前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微 积分 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微 积分的诞生不妨以这一天为标志。
牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这 些著作发表很迟他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著 名的牛顿-莱而尼茨公式 牛顿是那个时代的科学巨人在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立 日心说，伽利略出版《力学对话》 ，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发， 火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的 牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭， 艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大 的科学天才， 他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力， 都是空前卓越的 尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分 法他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义 莱布尼茨 1646 年生于莱比锡 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不 到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识莱布尼茨对数学有超 人的直觉，并且对于设计符号很第三。
他的微积分符号 “dx\" 和 ”∫” 已被证明是很发 用的 牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉 了二者之间的联系 因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的， 尽管牛顿的研究 比莱布尼茨早 10 年，但论文的发表要晚 3 年，由于彼此都是独立发现的，曾经长期争论 谁是最早的发明者就毫无意义牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的 人类经典物理学大师:牛顿 “我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍 的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜， 而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现 牛顿 ” 少年牛顿 1643 年 1 月 4 日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里，牛顿诞生了牛顿 是一个早产儿，出生时只有三磅重，接生婆和他的亲人都担心他能否活下来谁也没有料到 这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且竟活到了 85 岁的高 龄 牛顿出生前三个月父亲便去世了在他两岁时，母亲改嫁给一个牧师，把牛顿留 在外祖母身边抚养。
11 岁时，母亲的后夫去世，母亲带着和后夫所生的一子二女回到牛顿 身边牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自它的家庭处境大约从五岁开始， 牛顿被送到公立学校读书少年时的牛顿并不是神童，他资质平常，成绩一般，但他喜欢读 书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些 奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等 传说小牛顿把风车的机械原理摸透后， 自己制造了一架磨坊的模型， 他将老鼠绑在一架有轮 子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置老鼠 想吃玉米， 就不断的跑动， 于是轮子不停的转动； 又一次他放风筝时， 在绳子上悬挂着小灯， 夜间村人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟每天早晨，小水钟会自动滴水到他 的脸上，催他起床他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着 他刻画的日晷，用以验看日影的移动 牛顿 12 岁时进了离家不远的格兰瑟姆中学牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本 人却无意于此，而酷爱读书随着年岁的增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小实 验他在格兰瑟姆中学读书时，曾经寄宿在一位药剂师家里，使他受到了化学试验的熏陶。
牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象由好奇心，例如颜色、日影 四季的移动，尤其是几何学、哥白尼的日心说等等他还分门别类的记读书笔记，又喜欢别 出心裁的作些小工具、小技巧、小发明、小试验 当时英国社会渗透基督教新思想， 牛顿家里有两位都以神父为职业的亲戚， 这可能影响牛顿 晚年的宗教生活 从这些平凡的环境和活动中， 还看不出幼年的牛顿是个才能出众异于常人 的儿童 后来迫于生活，母亲让牛顿停学在家务农，赡养家庭但牛顿一有机会便埋首书卷，以至经 常忘了干活每次，母亲叫他同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，他便恳求佣人一 个人上街，自己则躲在树丛后看书有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿上市镇去， 发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题牛顿的好学精神感 动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学，并鼓励牛顿上大学读书牛顿又重新回到了学 校，如饥似渴地汲取着书本上的营养 求学岁月 1661 年，19 岁的牛顿以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，靠为学院做杂务的收入支付 学费，1664 年成为奖学金获得者，1665 年获学士学位 17 世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪经院哲学的气味，当牛顿进入剑 桥时，哪里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等。
两年后三 一学院出现了新气象， 卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座， 规定讲授自然科学知识， 如地理、 物理、天文和数学课程 讲座的第一任教授伊萨克?巴罗是个博学的科学家这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深 邃的观察力、敏锐的理解力于是将自己的数学知识，包括计算曲线图形面积的方法，全部 传授给牛顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域 在这段学习过程中，牛顿掌握了算术、三角，读了开普勒的《光学》 ，笛卡尔的《几何学》 和《哲学原理》 ，伽利略的《两大世界体系的对话》 ，胡克的《显微图集》 ，还有皇家学会的 历史和早期的哲学学报等 牛顿在巴罗门下的这段时间，是他学习的关键时期巴罗比牛顿大 12 岁，精于数学和光学， 他对牛顿的才华极为赞赏，认为牛顿的数学才超过自己后来，牛顿在回忆时说道： “巴罗 博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题 ” 当时， 牛顿在数学上很大程度是依靠自学他学习了欧几里得的《几何原本》 、笛卡儿的《几 何学》 、沃利斯的《无穷算术》 、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作其中，对 牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》 ，它们将牛顿迅速 引导到当时数学最前沿～解析几何与微积分。
1664 年，牛顿被选为巴罗的助手，第二年， 剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定 1665～1666 年严重的鼠疫席卷了伦敦，剑桥离伦敦不远，为恐波及，学校因此而停课，牛 顿于 1665 年 6 月离校返乡 由于牛顿在剑桥受到数学和自然科学的熏陶和培养， 对探索自然现象产生浓厚的兴趣， 家乡 安静的环境又使得他的思想展翅飞翔1665～1666 年这段短暂的时光成为牛顿科学生涯中 的黄金岁月，他在自然科学领域内思潮奔腾，才华迸发，思考前人从未思考过的问题，踏进 了前人没有涉及的领域，创建了前所未有的惊人业绩 1665 年初，牛顿创立级数近似法,以及把任意幂的二项式化为一个级数的规则；同年 11 月， 创立正流数法(微分)；次年 1 月，用三棱镜研究颜色理论；5 月，开始研究反流数法(积分) 这一年内，牛顿开始想到研究重力问题，并想把重力理论推广到月球的运动轨道上去他还 从开普勒定律中推导出使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方 成反比牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，说的也是此时发生的轶事 总之，在家乡居住的两年中，牛顿以比此后任何时候更为旺盛的精力从事科学创造，并关心 自然哲学问题。
他的三大成就： 微积分、 万有引力、 光学分析的思想都是在这时孕育成形的 可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图 1667 年复活节后不久， 牛顿返回到剑桥大学， 月 1 日被选为三一学院的仲院侣(初级院委)， 10 翌年 3 月 16 日获得硕士学位，同时成为正院侣(高级院委)1669 年 10 月 27 日，巴罗。