信 号 的 采 样 和 复 现 的 数 学 描 述一 、 采 样 过 程所 谓 理 想 采 样 ， 就 是 把 一 个 连 续 信 号 ， 按 一 定 的 时 间 间 隔 逐 点 地 取 其 瞬 时 值 ， 从 而 得)(te到 一 串 脉 冲 序 列 信 号 可 见 在 采 样 瞬 时 ， 的 脉 冲 强 度 等 于 相 应 瞬 时 的 幅 值 ， 即 ,)(te )(te)0(Te, ,… ， …如 图 8－ 8 所 示 因 此 ， 理 想 采 样 过 程 可 以 看 成 是 一 个 幅 值 调 制 过 程 ， 如 图)1(Te2nT8－ 9 所 示 采 样 器 好 比 是 一 个 幅 值 调 制 器 ， 理 想 脉 冲 序 列 作 为 幅 值 调 制 器 的 载 波 信 号 ， 的)(tTtT数 学 表 达 式 为(8－ 1)-n)(t)(tT其 中 0,±1,±2,…n调 幅 后 得 到 的 信 号 ， 即 采 样 信 号 为)(te )(te(8－ 2)nTTttet )()通 常 在 控 制 系 统 中 ， 假 设 当 时 ， 信 号 ， 因 此0t0)(teL )2())( tee(8－ 3)LnTt或 (8－ 4)0)())(net式 (8－ 4)为 一 无 穷 项 和 式 ， 每 一 项 中 的 表 示 脉 冲 出 现 的 时 刻 ； 而 代 表 这 一 时 刻 的 脉 冲t)(nTe强 度 。
式 (8－ 2)或 (8－ 4)表 示 了 采 样 前 的 连 续 信 号 与 采 样 后 的 离 散 信 号 之 间 的 关 系 然 而 ， 一 个 值 得 提 出的 问 题 是 ： 采 样 后 的 断 续 信 号 能 否 全 面 而 真 实 地 代 表 原 来 的 连 续 信 号 呢 ?或 者 说 它 是 否 包 含 了 原 连 续 信 号的 全 部 信 息 呢 ?因 为 从 采 样 (离 散 化 )过 程 来 看 ， “采 样 ”是 有 可 能 会 损 失 信 息 的 下 面 我 们 将 从 频 率 域 着 手研 究 这 个 问 题 二 、 采 样 信 号 的 频 谱假 设 连 续 信 号 的 富 氏 变 换 式 为 ， 采 样 后 信 号 的 富 氏 变 换 式 用 表 示 ， 下 面)(te)(jE*()et*()Ej我 们 来 看 的 具 体 表 达 式 jE由 于 理 想 脉 冲 序 列 是 一 个 周 期 函 数 ， 其 周 期 为 T， 因 此 它 可 以 展 开 成 指 数 形 式 的 富 氏 级 数 ， 即tT（ 8－ 5）ntjTset1)(其 中 为 采 样 角 频 率 。
s2将 式 (8－ 5)的 结 果 代 入 (8－ 2)式 得（ 8－ 6）ntjnTsetet 1)根 据 复 位 移 定 理 ； 若 ， 则[()])FtEj[()]atFejm因 此 ， 式 (8－ 6)的 富 氏 变 换 式 为(8－ 7)nsjTjte )(1)()][ 假 定 连 续 信 号 的 频 谱 如 图 8－ 10(a)所 示 ， 则 根 据 式 (8－ 7)可 得 采 样 (离 散 )信 号 的 频 谱 如 图(t )(te8－ 10(b)所 示 由 图 8－ 10， 可 得 到 如 下 结 论 ：(1) 的 项 为 ， 通 常 称 为 基 本 频 谱 它 正 比 于 原 连 续 信 号 的 频 谱 n)(jET )(te(2) 同 时 派 生 出 以 为 周 期 的 ， 无 限 多 个 高 频 频 谱 分 量 ， 其 中 ±1，s)(1sjnET±2,… h以 上 表 明 了 连 续 信 号 与 它 所 对 应 的 离 散 信 号 在 频 谱 上 的 差 别 从 富 氏 变 换 及 其 反 变 换 的 有 关 定 理可 知 ， 在 一 定 条 件 下 ， 原 函 数 与 其 富 氏 变 换 式 是 一 一 对 应 的 ， 亦 即 由 富 氏 变 换 式 可)(te)(j )(jE以 唯 一 地 还 原 成 原 函 数 。
可 以 设 想 ， 如 果 让 采 样 信 号 通 过 一 个 图 8－ 11 所 示 的 理 想 滤 波 器 ， 将 所 有派 生 出 来 的 高 频 分 量 全 部 滤 掉 ， 而 同 时 保 留 其 基 本 频 谱 信 号 那 么 经 过 这 样 处 理 后 的 信 号 ， 只 要 将 其幅 值 放 大 倍 ， 就 能 完 全 重 现 原 信 号 T由 图 8－ 10 不 难 看 出 ， 要 想 完 全 滤 掉 高 频 分 量 ， 筛 选 出 基 本 频 谱 ， 从 而 根 据 采 样 信 号 来 复 现 采)(te样 前 的 连 续 信 号 ， 采 样 频 率 必 须 大 于 或 等 于 连 续 信 号 频 谱 中 最 高 频 率 的 两 倍 ， 即)(tes)(temax(8－ 8)max2s这 就 是 有 名 的 香 农 (Shannon)采 样 定 理 这 一 定 理 告 诉 我 们 ， 只 要 采 样 频 率 足 够 高 ， 我 们 完 全 不 必 担 心采 样 过 程 会 损 失 任 何 信 息 由 图 8－ 10 也 可 看 出 ， 若 采 样 频 率 不 够 高 ， 即 时 ， 则 将 会 出 现 如 图 8－ 12 所 示 的 频 谱 重maxs叠 现 象 。
很 明 显 ， 这 时 ， 我 们 就 无 法 再 把 基 本 频 谱 和 派 生 高 频 频 谱 分 开 ； 从 而 ， 也 就 无 法 重 现 原 信 号 ，或 者 说 ， 采 样 过 程 将 损 失 信 息 另 外 ， 需 要 指 出 的 是 ， 如 图 8－ 11 所 示 的 理 想 滤 波 器 ， 实 际 上 是 不 存 在的 因 此 在 工 程 上 ， 通 常 采 用 性 能 与 理 想 滤 波 器 相 近 似 的 低 通 滤 波 器 ， 其 中 最 常 用 的 低 通 滤 波 器 就 是零 阶 保 持 器 三 、 零 阶 保 持 器 的 数 学 模 型零 阶 保 持 器 的 输 入 、 输 出 关 系 如 图 8－ 13 所 示 因 此 ， 零 阶 保 持 器 的 作 用 是 在 信 号 传 递 过 程 中 ， 把第 时 刻 的 采 样 信 号 值 一 直 保 持 到 第 时 刻 的 前 一 瞬 时 ， 把 第 时 刻 的 采 样 值 一 直 保 持nTTn)(Tn)1(到 时 刻 ， 依 次 类 推 ， 从 而 把 一 个 脉 冲 序 列 变 成 一 个 连 续 的 阶 梯 信 号 。
因 为 在 每 一 个)2( )(te )(teh采 样 区 间 内 的 值 均 为 常 值 ， 亦 即 其 一 阶 导 数 为 零 ， 故 称 为 零 阶 保 持 器 ， 可 用 “ZOH”来 表 示 teh如 果 把 阶 梯 信 号 的 中 点 连 起 来 ， 则 可 以 得 到 与 形 状 一 致 而 时 间 上 迟 后 半 个 采 样 周 期)th t )2(T的 响 应 曲 线 ， 如 图 8－ 13 中 的 虚 线 所 示 由 此 也 可 初 步 估 计 到 零 阶 保 持 器 对 于 系 统 动 态 性 能2(Tt的 影 响 为 了 求 取 零 阶 保 持 器 (ZOH)的 数 字 模 型 ， 可 以 从 图 8－ 13 中 任 取 一 个 采 样 周 期 来 进 行 分 析 零 阶 保 持器 的 输 入 是 脉 冲 函 数 ， 为 了 叙 述 方 便 ， 假 设 脉 冲 强 度 为 1， 即 为 单 位 脉 冲 函 数 ， 于 是 零 阶 保 持 器 的 输 出 就是 单 位 脉 冲 过 渡 函 数 ， 该 单 位 脉 冲 过 渡 函 数 的 拉 氏 变 换 式 ， 即 为 零 阶 保 持 器 的 传 递 函 数 。
零 阶 保 持 器 的 单 位 脉 冲 过 渡 函 数 的 图 形 是 高 度 为 1， 宽 度 为 的 矩 形 波 ， 如 图 8－ 14(a)所 示 为 了T求 其 拉 氏 变 换 式 ， 可 以 把 它 分 解 成 两 个 阶 跃 函 数 之 和 ， 如 图 8－ 14(b)所 示 于 是 ， 脉 冲 过 渡 函 数 可 表 示 为)(tty相 应 的 拉 氏 变 换 式 为 sesYTT1)(这 就 是 零 阶 保 持 器 的 传 递 函 数 ， 即(8－ 9)seGTh)(而 零 阶 保 持 器 的 频 率 特 性 为 22)in(1)( TjejTjh 其 频 率 特 性 曲 线 如 图 8－ 15 所 示 与 理 想 滤 波 器 图 8－ 11 相 比 较 ， 可 见 ， 两 者 都 能 起 低 通 滤 波 作 用 不过 零 阶 保 持 器 的 频 率 特 性 不 很 理 想 信 号 经 过 零 阶 保 持 器 以 后 ，其 高 频 分 量 不 能 完 全 滤 掉 此 外 ， 零 阶 保 持 器 具 有 的 相 角2T迟 后 因 此 ， 零 阶 保 持 器 的 引 入 将 会 使 系 统 的 稳 定 性 变 差 。
零 阶 保 持 器 的 一 个 优 点 是 ， 可 以 近 似 地 用 无 源 网 络 来 实 现 如 果 将 零 阶 保 持 器 传 递 函 数 中 的 项 展 开 成 幂 级 数 ， 并 取 前 两Tse项 ， 则 有 111)( TssessGTTh这 是 就 图 8－ 16 所 示 网 络 的 传 递 函 数 。