素养提升06 动力学中三种典型物理模型【考点1 等时圆模型】1．模型分析如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ，由匀变速直线运动规律有x＝at2，得下滑时间t＝2，即沿竖直直径自由下落的时间图丙是甲、乙两图的组合，不难证明有相同的结论2．结论模型1：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；模型2：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；模型3：两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示3．思维模板其中模型3可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较典例1】（22-23高一上·河南郑州·期末）如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为、、；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6由静止开始滑到下端所用的时间分别为、、，则（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可知加速度为位移为由匀变速直线运动规律有联立解得下滑时间相当于沿竖直直径自由下落的时间，有故选A。
素养提升1】（2024·江苏泰州·一模）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（ ）A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点【答案】D【详解】令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有根据位移公式有解得可知时间t与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点考点二 传送带模型】传送带模型的特征是以摩擦力为纽带关联传送带和物块的运动这类问题涉及滑动摩擦力和静摩擦力的转换、对地位移和二者间相对位移的区别，需要综合牛顿运动定律、运动学公式、功和能等知识求解考向1 物块在水平传送带上】物块在水平传送带上可分为两种情形：一是物块轻放在水平传送带上；二是物块以一定的初速度冲上水平传送带方法突破：已知传送带长为L，速度为v，与物块间的动摩擦因数为μ，则物块滑动时的加速度大小a＝μg1．如图甲，v0＝0时，物块加速到v的位移x＝，若x 2．如图甲，当v0≠0，v0与v同向时，当v0v时，物块减速到v的位移x＝，若xv>，物块先减速后匀速；若x≥L，即v≤，物块一直减速到右端当v＝v0时，物块匀速运动到右端3．如图乙，v0≠0，v0与v反向，物块向右减速到零的位移x＝，若x≥L，即v0≥，物块一直减速到右端；若xv将加速到v后匀速运动)直至离开传送带若水平传送带做匀变速运动，传送带与物块共速后，需讨论μg与传送带加速度a的关系若fmax＝μmg≥ma，即μg≥a，则物块与传送带一起以加速度a做匀变速运动；若fmax＝μmg 故选ACD素养提升2】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在生活中，人们常利用传送装置运送物品，如图所示，水平传送带保持的速度沿顺时针方向转动，传送带两端A、B间距离为一可视为质点的物块从B端以的初速度向左滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，忽略空气阻力，取，下列说法正确的是（ ）A．物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为B．物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为C．物块距A端的最小距离为D．物块相对于传送带滑行的距离为【答案】BCD【详解】AB．物块加速度大小为物块减速至零的位移和时间为，则物块会匀加速返回，与传送带共速的时间为，则物块匀速的时间为则物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为A错误，B正确；C．物块距A端的最小距离为C正确；D．物块相对于传送带滑行的距离为D正确故选BCD考向2 物块在倾斜传送带上】物块在倾斜传送带上又可分为向上传送和向下传送两种情况，物块相对传送带速度为零时μmgcosθ与mgsinθ的大小关系决定着物块是否会相对传送带下滑，μ>tanθ时物块相对传送带静止，μtanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动。 2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动再以速度v向上匀速运动2．如图甲，若0≤v0v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向上匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向上匀减速运动再以速度v向上匀速运动4．如图甲，若v0>v且μtanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动再以速度v向下匀速运动2．如图乙，若0≤v0 3．如图乙，若v0>v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动再以速度v向下匀速运动4．如图乙，若v0>v且μ tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ−μcosθ)的匀加速运动，再以速度v做匀速运动C．若L足够大，且μ < tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ＋μcosθ)的匀加速运动，再做加速度为g(sinθ−μcosθ)做匀加速运动D．不论μ大小如何，粮袋从A端到B端一直做匀加速运动，且加速度a > gsinθ【答案】AC【详解】粮袋开始运动时受到沿传送带向下的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得加速度为若μ < tanθ，且L足够大，当速度达到v时，做加速度为g(sinθ−μcosθ)匀加速运动。 若μ ≥ tanθ，即mgsinθ ≤ μmgcosθ当L较小时粮袋从A端到B端一直做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动匀加速运动，当L足够大粮袋将先做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动、后做匀速运动综上，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达B点时的速度小于v；可能先匀加速运动，当速度与传送带相同后，做匀速运动，到达B点时速度与v相同；也可能先做加速度较大的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度较小的匀加速运动，到达B点时的速度大于v故选AC素养提升3】（多选）（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）如图甲所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角为，以恒定速率顺时针转动一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示，取，则下列说法正确的是（ ）A．煤块与传送带间的动摩擦因数B．秒时煤块受到的摩擦力方向反向C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为D．煤块在传送带上留下的痕迹长为【答案】ACD【详解】A．速度—时间图像斜率的绝对值表示加速度的大小，根据图乙分析可知，起初煤块的速度大于传送带的速度，煤块先沿着传送带向上做匀减速直线运动，滑动摩擦力沿着传送带向下，当达到与传送带共速时，继续向上做匀减速直线运动，此时摩擦力发生突变，方向变为沿着传送带向上，直至煤块速度减为零后沿着传送带向下做匀加速直线运动，则根据图乙可得煤块两个减速阶段的加速度大小分别为对两个过程分别由牛顿第二定律有联立求得A正确；B．根据A项分析可知，时煤块受到的摩擦力没有反向，还是沿斜面向上，B错误；C．根据速度—时间图像可知，煤块在传送带上速度减为零的时间，根据速度—时间图像所围成的面积可知，煤块速度减为零时的位移为设煤块反向加速到达传送带A端的时间为，则由位移时间关系可得解得则可得煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为C正确；D．煤块第一阶段减速运动时速度大于传送带的速度，此过程中煤块在传送带上留下的划痕长度煤块第二阶段减速运动时的速度小。
2．如图甲，当v0≠0，v0与v同向时，当v0v时，物块减速到v的位移x＝，若xv>，物块先减速后匀速；若x≥L，即v≤，物块一直减速到右端当v＝v0时，物块匀速运动到右端3．如图乙，v0≠0，v0与v反向，物块向右减速到零的位移x＝，若x≥L，即v0≥，物块一直减速到右端；若xv将加速到v后匀速运动)直至离开传送带若水平传送带做匀变速运动，传送带与物块共速后，需讨论μg与传送带加速度a的关系若fmax＝μmg≥ma，即μg≥a，则物块与传送带一起以加速度a做匀变速运动；若fmax＝μmg 故选ACD素养提升2】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在生活中，人们常利用传送装置运送物品，如图所示，水平传送带保持的速度沿顺时针方向转动，传送带两端A、B间距离为一可视为质点的物块从B端以的初速度向左滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，忽略空气阻力，取，下列说法正确的是（ ）A．物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为B．物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为C．物块距A端的最小距离为D．物块相对于传送带滑行的距离为【答案】BCD【详解】AB．物块加速度大小为物块减速至零的位移和时间为，则物块会匀加速返回，与传送带共速的时间为，则物块匀速的时间为则物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为A错误，B正确；C．物块距A端的最小距离为C正确；D．物块相对于传送带滑行的距离为D正确故选BCD考向2 物块在倾斜传送带上】物块在倾斜传送带上又可分为向上传送和向下传送两种情况，物块相对传送带速度为零时μmgcosθ与mgsinθ的大小关系决定着物块是否会相对传送带下滑，μ>tanθ时物块相对传送带静止，μtanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动。 2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动再以速度v向上匀速运动2．如图甲，若0≤v0v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向上匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向上匀减速运动再以速度v向上匀速运动4．如图甲，若v0>v且μtanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动再以速度v向下匀速运动2．如图乙，若0≤v0 3．如图乙，若v0>v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动再以速度v向下匀速运动4．如图乙，若v0>v且μ tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ−μcosθ)的匀加速运动，再以速度v做匀速运动C．若L足够大，且μ < tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ＋μcosθ)的匀加速运动，再做加速度为g(sinθ−μcosθ)做匀加速运动D．不论μ大小如何，粮袋从A端到B端一直做匀加速运动，且加速度a > gsinθ【答案】AC【详解】粮袋开始运动时受到沿传送带向下的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得加速度为若μ < tanθ，且L足够大，当速度达到v时，做加速度为g(sinθ−μcosθ)匀加速运动。 若μ ≥ tanθ，即mgsinθ ≤ μmgcosθ当L较小时粮袋从A端到B端一直做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动匀加速运动，当L足够大粮袋将先做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动、后做匀速运动综上，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达B点时的速度小于v；可能先匀加速运动，当速度与传送带相同后，做匀速运动，到达B点时速度与v相同；也可能先做加速度较大的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度较小的匀加速运动，到达B点时的速度大于v故选AC素养提升3】（多选）（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）如图甲所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角为，以恒定速率顺时针转动一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示，取，则下列说法正确的是（ ）A．煤块与传送带间的动摩擦因数B．秒时煤块受到的摩擦力方向反向C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为D．煤块在传送带上留下的痕迹长为【答案】ACD【详解】A．速度—时间图像斜率的绝对值表示加速度的大小，根据图乙分析可知，起初煤块的速度大于传送带的速度，煤块先沿着传送带向上做匀减速直线运动，滑动摩擦力沿着传送带向下，当达到与传送带共速时，继续向上做匀减速直线运动，此时摩擦力发生突变，方向变为沿着传送带向上，直至煤块速度减为零后沿着传送带向下做匀加速直线运动，则根据图乙可得煤块两个减速阶段的加速度大小分别为对两个过程分别由牛顿第二定律有联立求得A正确；B．根据A项分析可知，时煤块受到的摩擦力没有反向，还是沿斜面向上，B错误；C．根据速度—时间图像可知，煤块在传送带上速度减为零的时间，根据速度—时间图像所围成的面积可知，煤块速度减为零时的位移为设煤块反向加速到达传送带A端的时间为，则由位移时间关系可得解得则可得煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为C正确；D．煤块第一阶段减速运动时速度大于传送带的速度，此过程中煤块在传送带上留下的划痕长度煤块第二阶段减速运动时的速度小。
故选ACD素养提升2】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在生活中，人们常利用传送装置运送物品，如图所示，水平传送带保持的速度沿顺时针方向转动，传送带两端A、B间距离为一可视为质点的物块从B端以的初速度向左滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，忽略空气阻力，取，下列说法正确的是（ ）A．物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为B．物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为C．物块距A端的最小距离为D．物块相对于传送带滑行的距离为【答案】BCD【详解】AB．物块加速度大小为物块减速至零的位移和时间为，则物块会匀加速返回，与传送带共速的时间为，则物块匀速的时间为则物块从滑上传送带至离开传送带所用时间为A错误，B正确；C．物块距A端的最小距离为C正确；D．物块相对于传送带滑行的距离为D正确故选BCD考向2 物块在倾斜传送带上】物块在倾斜传送带上又可分为向上传送和向下传送两种情况，物块相对传送带速度为零时μmgcosθ与mgsinθ的大小关系决定着物块是否会相对传送带下滑，μ>tanθ时物块相对传送带静止，μtanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动。
2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动再以速度v向上匀速运动2．如图甲，若0≤v0v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向上匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向上匀减速运动再以速度v向上匀速运动4．如图甲，若v0>v且μtanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动再以速度v向下匀速运动2．如图乙，若0≤v0 3．如图乙，若v0>v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动再以速度v向下匀速运动4．如图乙，若v0>v且μ tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ−μcosθ)的匀加速运动，再以速度v做匀速运动C．若L足够大，且μ < tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ＋μcosθ)的匀加速运动，再做加速度为g(sinθ−μcosθ)做匀加速运动D．不论μ大小如何，粮袋从A端到B端一直做匀加速运动，且加速度a > gsinθ【答案】AC【详解】粮袋开始运动时受到沿传送带向下的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得加速度为若μ < tanθ，且L足够大，当速度达到v时，做加速度为g(sinθ−μcosθ)匀加速运动。 若μ ≥ tanθ，即mgsinθ ≤ μmgcosθ当L较小时粮袋从A端到B端一直做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动匀加速运动，当L足够大粮袋将先做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动、后做匀速运动综上，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达B点时的速度小于v；可能先匀加速运动，当速度与传送带相同后，做匀速运动，到达B点时速度与v相同；也可能先做加速度较大的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度较小的匀加速运动，到达B点时的速度大于v故选AC素养提升3】（多选）（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）如图甲所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角为，以恒定速率顺时针转动一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示，取，则下列说法正确的是（ ）A．煤块与传送带间的动摩擦因数B．秒时煤块受到的摩擦力方向反向C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为D．煤块在传送带上留下的痕迹长为【答案】ACD【详解】A．速度—时间图像斜率的绝对值表示加速度的大小，根据图乙分析可知，起初煤块的速度大于传送带的速度，煤块先沿着传送带向上做匀减速直线运动，滑动摩擦力沿着传送带向下，当达到与传送带共速时，继续向上做匀减速直线运动，此时摩擦力发生突变，方向变为沿着传送带向上，直至煤块速度减为零后沿着传送带向下做匀加速直线运动，则根据图乙可得煤块两个减速阶段的加速度大小分别为对两个过程分别由牛顿第二定律有联立求得A正确；B．根据A项分析可知，时煤块受到的摩擦力没有反向，还是沿斜面向上，B错误；C．根据速度—时间图像可知，煤块在传送带上速度减为零的时间，根据速度—时间图像所围成的面积可知，煤块速度减为零时的位移为设煤块反向加速到达传送带A端的时间为，则由位移时间关系可得解得则可得煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为C正确；D．煤块第一阶段减速运动时速度大于传送带的速度，此过程中煤块在传送带上留下的划痕长度煤块第二阶段减速运动时的速度小。
3．如图乙，若v0>v且μ>tanθ：(1)传送带比较短时物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动2)传送带足够长时物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动再以速度v向下匀速运动4．如图乙，若v0>v且μ tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ−μcosθ)的匀加速运动，再以速度v做匀速运动C．若L足够大，且μ < tanθ，粮袋先做加速度为g(sinθ＋μcosθ)的匀加速运动，再做加速度为g(sinθ−μcosθ)做匀加速运动D．不论μ大小如何，粮袋从A端到B端一直做匀加速运动，且加速度a > gsinθ【答案】AC【详解】粮袋开始运动时受到沿传送带向下的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得加速度为若μ < tanθ，且L足够大，当速度达到v时，做加速度为g(sinθ−μcosθ)匀加速运动。
若μ ≥ tanθ，即mgsinθ ≤ μmgcosθ当L较小时粮袋从A端到B端一直做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动匀加速运动，当L足够大粮袋将先做加速度为g(sinθ+μcosθ)匀加速运动、后做匀速运动综上，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达B点时的速度小于v；可能先匀加速运动，当速度与传送带相同后，做匀速运动，到达B点时速度与v相同；也可能先做加速度较大的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度较小的匀加速运动，到达B点时的速度大于v故选AC素养提升3】（多选）（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）如图甲所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角为，以恒定速率顺时针转动一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示，取，则下列说法正确的是（ ）A．煤块与传送带间的动摩擦因数B．秒时煤块受到的摩擦力方向反向C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为D．煤块在传送带上留下的痕迹长为【答案】ACD【详解】A．速度—时间图像斜率的绝对值表示加速度的大小，根据图乙分析可知，起初煤块的速度大于传送带的速度，煤块先沿着传送带向上做匀减速直线运动，滑动摩擦力沿着传送带向下，当达到与传送带共速时，继续向上做匀减速直线运动，此时摩擦力发生突变，方向变为沿着传送带向上，直至煤块速度减为零后沿着传送带向下做匀加速直线运动，则根据图乙可得煤块两个减速阶段的加速度大小分别为对两个过程分别由牛顿第二定律有联立求得A正确；B．根据A项分析可知，时煤块受到的摩擦力没有反向，还是沿斜面向上，B错误；C．根据速度—时间图像可知，煤块在传送带上速度减为零的时间，根据速度—时间图像所围成的面积可知，煤块速度减为零时的位移为设煤块反向加速到达传送带A端的时间为，则由位移时间关系可得解得则可得煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为C正确；D．煤块第一阶段减速运动时速度大于传送带的速度，此过程中煤块在传送带上留下的划痕长度煤块第二阶段减速运动时的速度小。
