2025年普通高校招生全国统一考试(北京卷)数学试题一、选择题共10小题，每题4分，共40分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.集合M={x∣2x−1>5},N={1,2,3}，则M∩N=( )A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D. ⌀2.已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|=( )A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 83.双曲线x2−4y2=4的离心率为( )A. 32 B. 52 C. 54 D. 54.为得到函数y=9x的 图象，只需把函数y=3x的图象上的所有点( )A. 横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变C. 纵坐标变成原来的13倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变5.已知an是公差不为0的等差数列，a1=−2，若a3,a4,a6成等比数列，则a10=( )A. −20 B. −18 C. 16 D. 186.已知a>0,b>0，则( )A. a2+b2>2ab B. 1a+1b≥1ab C. a+b> ab D. 1a+1b≤2 ab7.已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得fx0>M”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.设函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在0,π4上存在零点，则ω的最小值为( )A. 8 B. 6 C. 4 D. 39.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)( )A. 2 B. 4 C. 20 D. 4010.已知平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|= 2，|AB|=2，设C(3,4)，则|2CA+AB|的取值范围是( )A. [6,14] B. [6,12] C. [8,14] D. [8,12]二、填空题。
共5小题，每小题5分,共25分11.抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= ．12.已知(1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4，则a0= ；a1+a2+a3+a4= ．13.已知α,β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α−β)，cos(α+β)≠cos(α−β)，写出满足条件的一组α= ，β= ．14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC,AB//RS//EF//CD，AF//ST//BC//ED，若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=52，则该多面体的体积为 ．15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有 ．①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=−x恒成立；②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=−x恒成立；③使得f(x)+f(−x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；④使得f(x)−f(−x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个．三、解答题。
共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.在▵ABC中，cosA=−13,asinC=4 2．(1)求c；(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在，求BC的高．①a=6；②bsinC=10 23；③▵ABC面积为10 2．17.四棱锥P−ABCD中，▵ACD与▵ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90 ∘,∠BAC=90 ∘，E为BC的中点．(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG//面PAB；(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值．18.有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．(3)若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小(结论不要求证明)19.已知E:x2a2+y2b2=1的离心率为 22，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，(1)求椭圆方程；(2)设O为原点，Mx0,y0x0≠0为椭圆上一点，直线x0x+2y0y−4=0与直线y=2，y=−2交于A，B．▵OAM与▵OBM的面积为S1,S2，比较S1S2与|OA||OB|的大小．20.函数f(x)的定义域为(−1,+∞),f(0)=0,f′(x)=ln(1+x)1+x，l1为A(a,f(a))(a≠0)处的切线．(1)f′(x)的最大值；(2)−10时，直线l2过A且与l1垂直，l1，l2分别于x轴的交点为x1与x2，求2a−x1−x2x2−x1的取值范围．21.A=1,2,3,4,5,6,7,8,M=xi,yi∣xi∈A,yi∈A，从M中选出n个有序数对构成一列：x1,y1,…,xn,yn.相邻两项xi,yi,xi+1,yi+1满足：xi+1−xi=3yi+1−yi=4或xi+1−xi=4yi+1−yi=3，称为k列．(1)若k列的第一项为(3,3)，求第二项．(2)若τ为k列，且满足i为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：i为偶数时，xi∈{3,4,5,6}；判断：(3,2)与(4,4)能否同时在τ中，并说明；(3)证明：M中所有元素都不构成k列．答案解析1.【答案】D 【解析】【分析】先求出集合M，再根据集合的交集运算即可解出．【解答】解：因为M=x|2x−1>5=x|x>3，所以M∩N=⌀，故选：D．2.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出．【解答】解：由i⋅z+2=2i可得，z=−2+2ii=2+2i，所以z= 22+22=2 2，故选：B．3.【答案】B 【解析】【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率．【解答】解：由x2−4y2=4得，x24−y2=1，所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5，即a=2,c= 5，所以e=ca= 52，故选：B．4.【答案】A 【解析】【分析】由y=9x=32x，根据平移法则即可解出．【解答】解：因为y=9x=32x，所以将函数y=3x的图象上所有点的横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变，即可得到函数y=9x的图象，故选：A5.【答案】C 【解析】【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解．【解答】解：设等差数列an的公差为d,d≠0，因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=−2，所以a42=a3a6，即−2+3d2=−2+2d−2+5d，解得d=2或d=0(舍去)，所以a10=a1+9d=−2+9×2=16．故选：C．6.【答案】C 【解析】【分析】由基本不等式结合特例即可判断．【解答】解：对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故 A错误；对于BD，取a=12,b=14，此时1a+1b=2+4=6<112×14=8=1ab，1a+1b=2+4=6>2 12×14=4 2=2 ab，故 BD错误；对于C，由基本不等式可得a+b≥2 ab> ab，故 C正确．故选：C．7.【答案】A 【解析】【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解．【解答】解：若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得fx1=M+1，取x0=x1，则fx0=M+1>M，充分性成立；取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得fx1=M+1，取x0=x1，则fx0=M+1>M，但此时函数f(x)的值域为0,+∞，必要性不成立；所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得fx0>M”的充分不必要条件．故选：A．8.【答案】C 【解析】【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解．【解答】解：函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)= 2sin(ωx+π4)(ω>0)，设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x+π)=f(x)可得kT=π,k∈N∗，所以T=2πω=πk,k∈N∗，即ω=2k,k∈N∗；又函数f(x)在0,π4上存在零点，且当x∈0,π4时，ωx+π4∈π4,πω4+π4，所以πω4+π4≥π，即ω≥3；综上，ω的最小值为4．故选：C．9.【答案】B 【解析】【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3，由题意，T1=klog2106=6klog210，T2=klog21.024×109=klog2210×106=k10+6log210，T3=klog24.096×109=klog2212×106=k12+6log210，因为T2−T1=k10+6log210−6klog210=10k=20，所以k=2，所以T3−T2=k12+6log210−k10+6log210=2k=4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选：B．10.【答案】D 【解析】【分析】先根据AB=OB−OA，求出⟨OA,OB⟩，进而可以用向量OA,OB表示出2CA+AB，即可解出．【解答】解：因为|OA|=|OB|= 2，|AB|=2，由AB=OB−OA平方可得，OA⋅OB=0，所以⟨OA,OB⟩=π2．2CA+AB=2OA−OC+OB−OA=OA+OB−2OC，OC= 32+42=5，所以，2CA+AB2=OA2+OB2+4OC2−4OA+OB⋅OC=2+2+4×25−4OA+OB⋅OC=104−4OA+OB⋅OC，又OA+OB⋅OC≤OA+OBOC=5× 2+2=10，即−10≤OA+OB⋅OC≤10，所以2CA+AB2∈64,144，即2CA+AB∈8,12，故选：D．11.【答案】6 【解析】【分析】根据抛物线的几何性质可求p的值．【解答】解：因为抛物线的顶点到焦距的距离为p2，故p2=3，故p=6，故答案为：6．12.【答案】1；15 【解析】【分析】利用赋值法可求a。