2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2016年浙江，文1，5分】已知全集，集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，，故选C．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．（2）【2016年浙江，文2，5分】已知互相垂直的平面，交于直线．若直线，满足，，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】∵互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，∴或或，，∵，∴，故选C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．（3）【2016年浙江，文3，5分】函数的图象是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】∵，∴函数是偶函数，即函数的图象关于轴对称，排除A，C；由，则，，则，故函数有无穷多个零点，故选B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．（4）【2016年浙江，文4，5分】若平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】作出平面区域如图所示：∴当直线分别经过，时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得，联立方程组， 解得．两条平行线分别为，，即，．∴平行线间的距离为，故选B．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．（5）【2016年浙江，文5，5分】已知，且，，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】若，则由得，即，此时，，即，若，则由得，即，此时，，即，综上，故选D．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．（6）【2016年浙江，文6，5分】已知函数，则“”是“的最小值与的最小值相等”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】的对称轴为，．（1）若，则，∴当时，取得最小值，即的最小值与的最小值相等．∴“”是“的最小值与的最小值相等”的充分条件．（2）若的最小值与的最小值相等，则，即，解得或．∴“”不是“的最小值与的最小值相等”的必要条件，故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．（7）【2016年浙江，文7，5分】已知函数满足：且，（ ）（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则【答案】B【解析】（A）若，则由条件得，即，则不一定成立，故A错误，（B）若，则由条件知，即，则，则，故B正确，（C）若，则由条件得，则不一定成立，故C错误，（D）若，则由条件，得，则，不一定成立，即不一定成立，故D错误，故选B．【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．（8）【2016年浙江，文8，5分】如图，点列、分别在某锐角的两边上，且，，，，，，（表示点与不重合）若，为的面积，则（ ）（A）是等差数列 （B）是等差数列（C）是等差数列 （D）是等差数列【答案】A【解析】设锐角的顶点为，，，，，由于，不确定，则不一定是等差数列，不一定是等差数列，设的底边上的高为，由三角形的相似可得，，两式相加可得，，即有，由，可得，即为，则数列为等差数列，故选A．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． （9）【2016年浙江，文9，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3．【答案】80；40【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为cm2，体积为cm3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是cm2，体积为cm3；所以几何体的表面积为cm2，体积为cm3．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．（10）【2016年浙江，文10，6分】已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．【答案】；5【解析】∵方程表示圆，∴，解得或．当时，方程化为，配方得，所得圆的圆心坐标为，半径为5；当时，方程化为，此时，方程不表示圆．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．（11）【2016年浙江，文11，6分】已知，则 ， ．【答案】；1【解析】∵，∴，．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．（12）【2016年浙江，文12，6分】设函数，已知，且，，则实数 ， ．【答案】，1【解析】∵，∴,∵，且，∴，解得或（舍去）．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．（13）【2016年浙江，文13，4分】设双曲线的左、右焦点分别为、，若点在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是 ．【答案】【解析】如图，由双曲线，得，，∴．不妨以在双曲线右支为例，当轴时，把代入，得，即，此时，则；由，得，又，① 两边平方得：，∴，②联立①②解得：，，此时．∴使为锐角三角形的的取值范围是．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．（14）【2016年浙江，文14，4分】如图，已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是 ．【答案】【解析】如图所示，取的中点，∵，∴，在中，．作，垂足为，．，，∴．过点作，作交于点，则．连接．为直线与所成的角．则四边形为矩形，∴．．则为二面角的平面角，设为．则，时取等号．∴的最小值．∴直线与所成角的余弦的最大值．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．（15）【2016年浙江，文15，4分】已知平面向量，，，，，若为平面单位向量，则的最大值是 ．【答案】【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2016年浙江，文16，14分】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，求的值．解：（1）正弦定理得，，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，．（2），∴．，．∴．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2016年浙江，文17，15分】设数列的前项和为，已知，，．（1）求通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）∵，，．∴，，解得，，当时，，，两式相减得，即，当时，，，满足，∴，则数列是公比的等比数列，则通项公式．（2），设，则，，当时，，则，此时数列的前项和，．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．（18）【2016年浙江，文18，15分】如图，在三棱台中，已知平面平面，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且； 所以，平面，因此，．又因为，，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面． （2）∵平面；∴是直线和平面所成的角；∵为中点，且；∴为的中位线，且；∴；又；∴在中，，；即直线和平面所成角的余弦值为．【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．（19）【2016年浙江，文19，15分】如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 解：（1）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离，抛物线定义得，，即． （2）由（1）得，抛物线方程为，，可设，，，∵不垂直轴，∴设直线：，联立，得．，∴，又直线的斜率为，故直线的斜率为，从而得：，直线：，则，设，由、、三点共线，得，于是，得或．经检验，或满足题意．∴点的横坐标的取值范围为．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．（20）【2016年浙江，文20，15分】设函数，，证明：（1）；（2）．解：（1）因为，，且，所以，所以，即．（2）因为，所以，所以；由（1）得，，且，所以；综上，．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．7。