知识要点】第 八 讲 动点定线与动线定点（基础）运动路径与最值第 页一、运动与静止的统一1．确定动点的运动轨迹（动点定线）：如何求定线解析式；2．确定动线线上的定点（动线定点）：如何求动线上定点的坐标；3．设定线上动点（任意点）的坐标；4．设过定点的直线的解析式. 二、距离1．点到点的距离：（1）定点到定点的距离；（2）定点到动点的距离的最小值；2．点到线的距离：（1）定点到定线的距离；（2）定点到动线的距离的最大值；3．两平行线之间的距离.ì起点三、动点的运动路径长及几何最值： 路径（定线）Û í .î终点【新知讲授】例一、动点在定线上已知无论a 取什么实数，点 P( a -1，2 a -3)始终都在一条定直线l 上.1．求定直线l 的函数解析式；2．若点 Q( m ， n )也在直线l 上，则(2 m - n ＋3)2 的值等于 ；3．求 OP 的最小值.例二、动线过定点已知直线l1 : y = kx - 4k + 2 .（1）求证：无论k 为何值，必过一个定点 M，并求定点 M 的坐标；（2）求点 M 与动直线l2 : y = tx + 2t - 3 距离的最大值.例三、已知点 P （ x0 ， y0 ） 和直线 y = kx + b ， 则点 P 到直线 y = kx + b 的距离证明可用公式d = 计算．例如：求点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离．解：∵直线 y = 3x + 7 ，其中k =3， b =7，∴点P（﹣1，2）到直线 y = 3x + 7 的距离为： d = = = ．5根据以上材料，解答下列问题：（1）求点 P（1，﹣1）到直线 y = x -1的距离；（2）已知直线 y = -2x + 4 与 y = -2x - 6 平行，求这两条直线之间的距离．（3）已知在□ABCD 中，点 A（0，-2）、点 B（ 3m，4m +1 ）（ m ≠-1），点 C（6，2），求对角线 BD 的最小值．CyBMNOPAx例四、如图，矩形 OABC，A 点在 x 轴正半轴上，C 点在 y 轴正半轴上，B 点的坐标为（8，6），P 为 OA边上的一个动点，M 为线段 CP 的中点，将点 M 绕 P 点顺时针旋转 90°得到点 N. 当 P 点从 O 点运动到 A 点的过程中，求动点 N 的运动路径长.例五、如图，A（4，0），△OAB 为等边三角形，P 为 x 轴上的一动点，以 BP 为边在其右侧作等边△BCD．（1）点 Q 在某一确定的函数图象上运动，求其解析式； y（2）连接 OQ，求 OQ 的最小值． QBNO A P x例六、如图，直线 AB： y = 2x + 4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，C（1，0）为 x 轴上一点，M 为直线AB 上的一个动点，将线段 MC 绕点 C 顺时针旋转 90°得线段 CN．（1）设 M 点的横坐标为 m 时，试用含 m 的式子表示点 N 的坐标；（2）当 M 在直线 AB 上运动时，点 N 总在一条定直线 l 上运动，试求直线 l 的解析式；（3）当 M 点在 AB 上的运动速度为 2 单位/秒时，求动点 Q 在定直线 l 上的运动速度；（4）请直接写出线段 ON 的最小值为 ． yBMNAO C x例七、如图，A（-8，0），B（0，-4），菱形 ABCD 的对角线的交点与原点 O 重合，在边 AB 上取一点 E，延长 EO 交边 CD 于点 F，以 EF 为斜边作等腰Rt△PEF（点 P 不在第四象限），随着点 E 从 A 点运动到 B 点，点 P 的位置也不断变化. y（1）点 P 在某一确定的函数图象上运动，求其解析式；（2）连接 DP，求 DP 的最小值．P DFA O C x EB第 37 页 共 46 页例八、（1）在平面直角坐标系中点 A(4，0)绕动点 P 顺时针旋转 90°至 B(1， m )．若 1≤ m ≤3，则 P点运动的路径 .（2）在平面直角坐标系中，点 C 沿着某条路径运动，以点 C 为旋转中心，将点 A(0，4)逆时针旋转90°到点 B( m ，1)．若-5≤ m ≤5，则点 C 运动的路径长为 .（3）如图，在平面直角坐标系中，A（-6，0），B（0，8），C 为 OA 边的中点，P 为 OA 边上的一个动点，过点 P 作 PD⊥OA 交 AB 于点 D，Q 为 PD 延长线上一点，且 DQ=CP，当 P 点从 A 点运动到 O 点的过程中，点 Q 的运动路径长为 . yBQ DA P C O x（4）如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，0），C（0，-2），P、Q 分别是线段 AC、线段OB 上的动点，满足 OP=BQ，M 为 PQ 中点，当 P 从 C 点运动到 A 点时，则 C 点所走过的路径长为 ． yAO Q B xP MC。
