用微积分推导简谐运动的位移时间公式

用微积分推导简谐运动的位移时间公式已知：以弹簧振子作为研究对象，弹簧振子的质量为 m，设所经历的时间为 t，且当 t=0 时，弹簧振子处于受力平衡位置，弹簧的拉力系数为 k（单位为 N/m） ，设弹簧振子的初速度为 V0，试推导弹簧振子位移 s 与时间 t 的关系解：设 s 与 t 的表达关系为 s=s(t)由导数的意义知，s '=s ' (t)表示位移 s 在时间上的变化率，即当时间为 t 时，弹簧振子的速度 v= s '同理，当时间为 t 时，弹簧振子的加速度 a=v '=s"弹簧振子所受的弹力 F=-ks=ma即，-ks=m s"对该微分方程整理得 0mks"其特征方程为 2显然 k 和 m 都为正物理量，所以该特征方程 Δ＜0于是该特征方程具有共轭复根 imk由二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式得，原微分方程的通解为 tmkCtkssinco21其中 C1、C 2都是与 t 无关的常量由已知条件得，当 t=0 时，s=0，于是 C1=0所以 tmksin2对 s 进行求导得 tmkCvcos2由已知条件得，当 t=0 时，V=V 0所以 kmvC02所以，最终确认简谐运动的位移时间公式为 tmkvsin0由该公式可以得出，该简谐运动的振幅为 ，振幅与初速度的kmv0大小、弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关。

该简谐运动的周期为 ，周期与弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关，与初速km2度大小无关。