第八章 二元一次方程组教材内容本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、 加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的 应用教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的 概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解接着，以消元思想为基 础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法然 后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问 题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度 最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分 的体现教案目标〔知识与技能〕1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组 表示实际问题中的两种相关的等量关系； 2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法； 3、了解三元一次方程组的解法； 4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际 问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力〔过程与方法〕1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设 未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含 有 多 个未 知数 的问 题的数 学 模型 。
2、在 把二元 一 次方 程组 转化 为 x=a,y=b 的形式的过程中，体会“消元”的思想〔情感、态度与价值观〕通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本 过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力重点难点二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程 组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问 题、解决含有多个未知数的问题是难点课时分配8.1二元一次方程组 1课时8.2消元一一二元一次方程组的解法 4课时8.3再探实际问题与二元一次方程组 3课时*8.4三元一次方程组解法举例 2课时本章小结 2课时# / 298.1二元一次方程组［教案目标］理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会 检验一对数是不是二兀一次方程组的解［重点难点］二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理 解二元一次方程组的解是难点［教案过程］一、 问题导入我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问看下面的问题： ［投影1］篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部 22场比赛中得到40分，那么 这个队胜负场数分别是多少？你知道吗？二、 二元一次方程和二元一次方程组这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=总积分若设胜的场数是 x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗？x+ y= 22 2x+ y=40这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？所含未知数的个数不同；特点是：（ 1 ）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数是 1。
像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是 1的方程叫做二元一次方程上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数 x、y必须同时满足方程 x + y = 22和2x + y = 40把两个方程合在一起，写成像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是 1的两个方程合在一起，就组成了 二元一次方程组•三、二元一次方程、二元一次方程组的解探究：［投影2］满足方程①，且符合问题的实际意义的 x、y的值有xy哪些？把它们填入表中.为此我们用含 x的式子表示 y，即y = 22 — x （ x可取一些自然数）显然，上表中每一对 x、y的值都是方程①的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解.如果不考虑方程的实际意义，那么 x、y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？还可以取 x = — 1 , y = 23; x = 0.5 , y= 21.5，等等所以，二元一次方程的解有无数对上表中哪对x、y的值还满足方程②？x= 18, y= 2还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公"x —18共解，记作 -'ly =4.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做 二元一次方程组的解.四、 例题例1若方程x2 m- + 5y 2-n= 7是二元一次方程.求m2 + n的值。
分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？解：依题意，得2 m -1 = 1, 2 -3n = 1.由 2 m- = 1，得 m=1由 2 43n = 1 得 n = 1/3m2 + n = 1 + 1/3 = 4/3.五、 课堂练习［投影3］1、下列各对数值中是二元一次方程 x+ 2y=2的解的是〔 〕x=2x = -2x=0x = -1A丿BC 丿D 丿J=0J = 2y = o2、课本94面练习六、课堂小结1、 二元一次方程、二元一次方程组的概念；2、 二元一次方程、二元一次方程组的解 .作业：课本95面1 — 4.8.2消元(一)［教案目标］1、掌握代入法解二元一次方程组； 2、经历探索二元一次方程组的解法的过程，初步体会“消元” 的基本思想.［重点难点］代入消元法解二元一次方程组是重点；理解“消元”的基 本思想是难点［教案过程］一、情景导入下面是我们讨论过的一个关于篮球比赛的问题： ［投影1］篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部 22场比赛中得到40分，那么 这个队胜负场数分别是多少？请你求出结果设这个队胜了 x场，依题意，得 2x+(22-x)=40 解得 x= 1822 — x= 4所以，这个队胜了 18场，负了 4场.我们知道，设胜的场数是 x，负的场数是y,可列方程组：x+ y = 22 「r 2x + y= 40那么怎样求这个方程组的解呢？二、代入消元法上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现，二元一次方程组中第 1个方程x+ y= 22说明y= 22 —x，将第2个方程2x+ y= 40的y换为22 — x,这个方程就化为一元一次 方程 2x+(22-x)=40。
这就是说，二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个 未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程这样，我们就可以先求出一个 未知数，然后再求出另一未知数 •这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.例1解方程组：‘X - y = 33x -8y =14分析：根据消元的思想，解方程组要把两个未知数转化为一个未知 数，为此，需要用一个未知数表示另一个未知数怎样表示呢？转化成的 一元一次方程是什么？解：由①得x=y+3③把③代入②，得3 （y + 3） -8y = 14解得y= — 1把y=— 1代人③得x=2.x =2尸一1归纳：［投影2］上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将代入个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解 .这种方法叫做代入消元法，简称 法.解上面的方程组能消去 y吗？试试看三、 课堂练习：课本98面1; 99面2题四、 课堂小结1、 什么是消元的思想？什么是代入消元法？2、 用代入消元法解二元一次方程组作业：课本103面1、2题3、（ 1）x — y =52x+ 4y=24(2)1.5x -0.5y = 12x 3y =58.2消元（二）〔教案目标〕初步学会用二元一次方程组解决简单的实际问题及有关 的数学问题。
〔重点难点〕二元一次方程的运用是重点；用二元一次方程组解决简 单的实际问题是难点〔教案过程〕一、 复习导入上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，回忆一下： 怎样用代入消元法解二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？ 今天我们学习用二元一次方程组解决有关的问题二、 例题『x=2 厂 ax + y= b例1［投影1］已知 是方程组 ' 的解，求a、I y=—1 ^4x—by = a+ 5分析：根据方程组的解的意义，我们可以知道什么?厂ax + y=b '2a—1=b解:「' ，得彳l4x-by=a+5 4^ ^5把①代入②，得8+2a-仁a+5 解得 a=- 2把a =- 2代入①，得b=-5b = -5例2［投影2］根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （500g）和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为 2： 5.某厂每天生产这种 消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？分析：问题中有哪些未知量？消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数问题中有哪些等量关系？大瓶数：小瓶数=2 : 5大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液= 22.5吨设怎样的未知数可以表示上面的两个等量关系？设这些消毒液应分装 x大瓶和y小瓶，则5x=2y500x+ 250y= 22500000请你用代入消元法解答上面的方程组。
解之得,x 二20000y =50000答：这些消毒液应该分装 20000大瓶和50000小瓶.三、 课堂练习课本99面3、4题四、 课堂小结列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的思 想和步骤是相同的，不同的是一个设一个未知数，一个设两个未知数 般地，同一个问题既可以列一元一次方程来解决，也可以列二元一次方程 组来解决，不过，有时设两个未知数列方程组更方便些作业：课本103面4、6.补充题：已知方程组丿< . 彳 X = 1ax — by = 1 的解为< 1，求a+ b的值.bx + ay = 3 I y = 一I 28.2消元（三）〔教案目标〕掌握加减法解二元一次方程组〔重点难点〕用加减法解二元一次方程组是重点；用加减法解相同未 知数的系数不成整数倍的二元一次方程组是难点〔教案过程〕一、情景导入［投影1］王老师昨天在水果批发市场买了 2千克苹果和4千克梨共花 了 14元，李老师以同样的价格买了 2千克苹果和3千克梨共花了 12元， 梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快.最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了 1千克的 梨，多花了 2元，故梨每千克的售价为 2元. 这种思想也可以用来解二元一次方程组。
二、加减消元法我们知道，对于方程组X 22① 可以用代入消元法求2x + y = 40 ②解，除此之外，还有没有别的方法呢？这个方程组的两个方程中， y的系数有什么关系？ ？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？y的系数相等；用②—①可消去未知数 y,得(2x+y)-(x+y)=40-22 解得 x=18把x=18代入①得y=4显然，由①一②也能消去未知数 y.思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组4x 10y 二 3.6 ①。