1第二部分：数量关系――数学运算一、题型概要及解题技巧考查四则运算及应用题的解决能力要求快速、准确进行计算要求掌握专业解题方法技巧：基本知识、基本训练、 特殊方法 二、题型解析(一)速算巧算：1、加减法中的速算与巧算方法一：运用加法运算定律（交换律、结合律）凑整1）凑成整十、整百、整千进行计算； 例：66＋47＋34＋53＋45 找补数规律：个位数字与它的补数相加是 10，其它位数相加是 92）带符号搬家； 例：4735＋427－431＋6431－735＋73（3）分拆凑整； 例：9998＋3＋99＋998＋3＋9方法二：运用四则运算性质凑整运算性质：a-(b-c)=a-b+c a-(b+c)=a-b-c 例：3932＋2997＝3932＋（3000－3）＝6929方法三：利用基准数凑整彼此接近的数相加时，选择其中一个数作为基准数，找出每个加数与这个基准数的差，把这些差累计起来 例：1986＋1988＋1990＋1992＋1994※方法四：运用等差数列求和公式计算 例：4＋6＋8＋…＋22＋24奇数项和＝中间项×项数 例：231＋232＋233＋234＋235＋236＋237应用：（1）17 个连续整数的和是 306，求紧接在这 17 个数后的 17 个整数的和。
（595）（2）求 1 到 800 中能被 12 整除的自然数之和 （变形：不能？）熟练掌握等差数列的几个相关公式等比数列求和： 12219103－＝＋＋＋＋＋ 13 474745－＝＋＋＋＋＋ 2、乘除法中的速算与巧算（除法转化成乘法 ―― 可约分）方法一：凑整法：2×5 4×25 8×125 625×8＝5000（1）乘法交换律： 例：25×32×125（2）乘法对加减法的分配律(逆：提公因式法)a×（b+c）=a×b+a×c a×(b-c)=a×b-a× c例：331×11 242×9（3）四则运算规则a÷b÷c=a÷(b×c)=a÷c÷b 例：35000÷625÷8=35000÷(625×8)=7a÷b×c=a÷(b÷c)=a×c÷b 例：100÷4×2=100÷(4÷2)=100×2÷4=50a×b÷c=a÷c×b=a×(b÷c) 例：1998× 432÷216=1998×(432÷216)=39963972×69÷1986=3972÷1986×69=138练习： 2938629314n2方法二、特殊的巧算规律：（1）一个数乘以以下数的规律 9 11 15 101 1001 10001 10101 1001001循环数书写规律：循环节的长度减 1 对应 0 的个数；循环节的个数对应 1 的个数。
21920（2）两位数乘法中，十位数相同，个位数和为 10 的规律例：38×32（首数加 1 再乘以首数做前两位，尾数乘积做后两位）两位数乘法中，个位数相同，十位数和为 10 的规律例：76×36＝2736（首数相乘再加尾数做前两位，尾数乘积做后两位）被乘数的两个数字相同，乘数的两个数字之和为 10 的规律例：33×64＝2112（首数相乘再加相同的数字做前两位，尾数乘积做后两位）12345679 与小于 90 的 9 的倍数的乘积 nn191234567123456789 与小于 90 的 9 的倍数的乘积 018※（3）平方差公式： 例：32 2－31 22)(baba练习： 31642 414（2+1） （2 2+1） （2 4+1） （2 8+1） （2 16+1） （2 32+1）37513690（4）两个整数的和是一定值时，这两个数的差越小，乘积越大3、尾数计算法：注意 1-9 的 n 次方的尾数变化情况4、分数巧算方法：（裂项求和法）（1） 1)(n（2） 问：kk)( ?)(1kn（3）若 ，则 问：cbabca？abc（4） 1练习： 19264532 3)()741nn（＋＋＋ 19802132 756409135、整体代换法： 197)6312)(9731()932)(72( 3（二）循环小数化为分数循环小数分类：纯循环小数、混循环小数 021920（三）比较大小：1．基本方法：（1）作差法：（2）作商法：（3）倒数法：2．分数比较大小（1）通分的方法：A、分子通分； B、分母通分 ） （ 0kakb例： 21435与 与 （2） ） （时 ， 当 0kkabb例：比较 的大小的 大 小与 38192345678与（3）中间值法：向一个目标看齐“1” 、 “ ”、 “ ”等例： 比较 的大小的 大 小与比 较 57265与（4）如果 2ba， 则例：比较 的 大 小与 1098631的 大 小与 57542提示： 3 546324＞ ＞（四）单位分数分解：（五）质因数分解：240 的约数的个数?给出九个自然数 30,33,42,52,65,66，77,78,105，把这九个数分成三组,使三组数的每组三数的乘积相同.如果某数除 492、2241、3195 都余 15，那么这个数是多少？（六）整除问题：特征及性质四位数 45ab，能同时被 2，3，4，5，9 整除，求此四位数。
六位数 能同时被 3，4，5 整除，要使 尽可能小，a，b，c 各是多少？abc865865说明 能被 7 和 13 整除七）带余除法：（剩余定理）957 除以一个数商为 15，且除数比余数大 35，求除数，余数各是多少？大、小两个数之和是 119，大数除以小数商是 4，余数也是 4，求这两个数？（八）同余问题：（九）奇偶性：（十）数阵图4(二)应用题：1．和、差、倍分问题；年龄问题；基本方法：线段图示法、方程法例：甲乙丙丁 4 个数的和是 549，如果甲数加上 2，乙数减少 2，丙数乘以 2，丁数除以 2 后，四个数相等求四个数各是多少？P48例：甲对乙说当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁乙对甲说当我的岁数到你现在的岁数时，你将有 67 岁甲乙现在各多少岁？P49例：母子年龄和是 41 岁，4 年前母亲的年龄恰好是儿子年龄的 10 倍，母子现在的年龄各是多少岁？（34,7）例：被除数、除数、商三数的和是 639，商是 3，被除数、除数各是多少？（477,159）2．还原问题；基本方法：图表法、线段图示法、方程法例：甲、乙、丙三人各有球若干个，甲给乙的球如乙现有的那么多球，甲给丙的如丙现有的那么多球，然后乙也按甲和丙手中的球数分别给甲、乙添球，最后丙也按甲和乙手中的球数分别给甲、乙添球，此时三人都各有 16 个球，问开始时三人各有多少个球？例：一位牧羊人说：“我的羊数减去 7，除以 5，再加上 8，乘以 4，正好是 100 只。
”请你算一算，牧羊人有多少只羊？例：有一堆桃子，第一个猴子拿走了这堆桃的一半中一个桃子，第二个猴子拿走了余下的一半加一个，第三个猴子拿走了最后剩下的一半加一个，桃子就被拿光了，这堆桃子原有多少个？3．植树问题；基本方法：图示法、方程法例：一列火车共 25 节，每节长 5 米，每两节之间相距 1 米，求火车全长多少米？（149 米）在一条长 75 米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽 52 棵，相邻两棵树之间距离相等，求相邻两树之间的距离？（3 米）5有 5 段长 20 米的木料，每 4 米锯一段，每锯下一段需要 3 分钟，全部锯完需要多少分钟？（60）A、B 两人比赛爬楼梯，A 跑到 4 层时，B 恰好跑到 3 层，照这样计算，A 跑到 16 层楼时，B 跑到几层楼？（11）一次检阅，接受检阅的一列车队共 30 辆，每辆车长 4 米，前后每辆车相距 5 米，这列车队有多长？如果车队每秒行驶 2 米，那么这列车队要通过 535 米长的检阅场地，需要多少时间？（265 米，6 分 40秒）4．方阵问题（空心方阵、实心方阵） ；知识点：一层点数、相邻两层点数差 8、基本方法：图示法、方程法例：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完。
后来又改围成个正方形，也正好用完如果正方形的每条边比三角形的每条边少用 5 枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？P47例：有若干人，恰好能排成 5 层的中空方阵，最外层每边人数是 12 人，共有多少人？（140）例：用棋子摆成方阵，恰好可排成每边 24 粒的实心方阵，若改为三层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒棋子？（51）例：小刚用棋子摆成一个实心方阵，后来他又加了 11 个棋子，横竖各增加了一排，成为大一点的方，求原来实心方阵有多少个棋子？（25）5．行程问题（相遇问题、追及问题、流水问题、火车过隧道问题） ；例：甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行 20 千米，乙每小时行 18 千米，两人相遇时距全程中点 3 千米，求全程长多少千米？甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100 千米，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时走 10 千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？66．时钟问题；从 5 时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？5．在 7 点到 8 点之间，分针与时针什么时候在一条直线上？7．工程问题；例：师徒二人合作生产一批零件，6 天可以完成任务，师傅先做 5 天后，因事外出，由徒弟接着做 3天，共完成任务的 7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？加工一批零件，甲、乙合作 24 天可以完成，现在由甲先做 16 天，然后由乙再做 12 天，还剩下这批零件的 2/5 没完成。
已知甲每天比乙多加工 3 个零件，求这批零件共有多少个？8．比例问题；分数知识，列方程，份数知识（1）求一个数的几分之几是多少？解法：这个数 分率＝分率所对应的量例：已知一个数是 360，求这个数的 是多少？52（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数？解法：分率所对应的量÷分率＝这个数例：某数的 是 144，求这个数是多少？5若甲数的 等于乙数的 ，则甲数是乙数的 ；乙数是甲数的 ；如果甲数是乙数的 ，badcbadcdcbanm则乙数是甲数的 mn一块长方形的地，长和宽的比是 4:3，长方形的周长是 154 米，这块地的面积是多少平方米？（1452）甲、乙两同学的分数比是 5:4，如果甲少得 22.5 分，乙多得 22.5 分，则他们分数比是 5:7，问甲乙原来各得多少分？（90、72）某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的 3 倍，如果该年级学生减少 6 人，未参加的学生增加 6 人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是 2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．(24,72,96)7例：我的年龄的 是你年龄的 ，问你的年龄占我年龄的几分之几？812例：：一个筐里有桔子和苹果共 90 千克，其中桔子的 与苹果的 共 56 千克，桔子和苹果各有多7432少千克？9．利润问题；若进货价降低 8％，而售出价不变，那么利润可由目前的 p％增加到(p+10)％，求 p．x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％] (p=15)10．容斥原理问题；某学校共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机。
已知参加这三个兴趣小组的学生分别有 25、24、30 人；同时参加天文、计算机兴趣小组的有 2 人；同时参加天文、无线电兴趣小组的有 5 人，同时参加无线电、计算机兴趣小组的有 4 人，有 1 人同时参加这三个兴趣小组问：（1）共有多少学生参加科技兴趣小组？（2）只参加天文兴趣小组的学生有多少？（3）只参加一个兴。