材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案1第三章第三章 扭转扭转§§3- -1 概述概述§§3- -2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转§§3- -3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图§§3- -4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力· 强度条件强度条件§§3- -5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件刚度条件§§3- -6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能§§3- -7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形* *§§3- -8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的 应力与变形应力与变形 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案2 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案3§§3- -1 概概 述述变形特点：变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。
受力特点：受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转第三章第三章 扭转扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转MeMe 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案4圆轴扭转变形第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案5 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象此外，所研究的问题限于杆弹性范围内工作的情况第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案6§§3- -2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒薄壁圆筒——通常指 的圆筒 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)第三章第三章 扭转扭转r0Od d 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案7薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案8 Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章第三章 扭转扭转推论：推论：(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。
材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案9横截面上的应力横截面上的应力：(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所有点处的切应力相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力第三章第三章 扭转扭转T 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案10Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由 根据应力分布可知引进 ，上式亦可写作 ，于是有第三章第三章 扭转扭转T 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案11Ⅲ. Ⅲ. 剪切胡克定律剪切胡克定律(Hooke’s law in shear)(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了 ，这种直角改变量称为切应变(shearing strain)2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有 ，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。
第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案12 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系： 这就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量切变模量(shear modulus)它与弹性模量E的量纲相同，单位为Pa钢材的切变模量的约值为：G =80GPa第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案13§3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图ⅠⅠ. . 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a 第三章第三章 扭转扭转从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nMe2Me1Me3 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案14 因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：第三章第三章 扭转扭转Me 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案15 主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。
第三章第三章 扭转扭转从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nMe2Me1Me3功率用马力功率用马力(PS)表示，则表示，则 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案MMe在在n – n 截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左侧为研究对象侧为研究对象1 1、求内力、求内力截面法截面法T TMMeMMeⅡ. 扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案17 2.扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负第三章第三章 扭转扭转T(+)T(-)mITImIITmITImIIT 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案3 3、扭矩图、扭矩图T Tx x+ +_ _ 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案19 例题例题3- -1 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。
试作轴的扭矩图 第三章第三章 扭转扭转MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案20解解解解: : : :计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案21计算计算计算计算 CA CA 段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截面 2-2 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩截面上的扭矩截面上的扭矩 假设 T T 2 2为正值结果为负号，说明结果为负号，说明结果为负号，说明结果为负号，说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程ABCDMe4Me1Me3Me2BCxMe2Me322 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案22+478095606370从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在在在 CACA段内。
段内作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图ABCDMe4Me1Me3Me2同理同理 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案23思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图这样的布置是否合理？第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案24第三章第三章 扭转扭转15.94.786.37 4.78 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案25§§3- -4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力·强度条件强度条件Ⅰ. 横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况( (问题的几何方面问题的几何方面) )横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系( (问题的物理方面问题的物理方面) )内力与应力的关系横截面上应力的计算公式( (问题的静力学方面问题的静力学方面) )第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案1 1 1 1、变形现象、变形现象、变形现象、变形现象 1) 1) 轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变； 2) 2) 横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；（（（（ 1 1 ）几何方面）几何方面）几何方面）几何方面 3) 3) 径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴 线旋转线旋转线旋转线旋转. . 2 2 2 2、平面假设、平面假设、平面假设、平面假设变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 ，变形后仍，变形后仍，变形后仍，变形后仍保持为平面保持为平面保持为平面保持为平面. . 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案3 3 3 3、几何关系、几何关系、几何关系、几何关系 倾角倾角倾角倾角 是横截面圆周上任一点是横截面圆周上任一点是横截面圆周上任一点是横截面圆周上任一点A A 处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变, d, d 是是是是 b-bb-b截面相对截面相对截面相对截面相对于于于于a-a a-a 截面象刚性平面一样绕杆截面象刚性平面一样绕杆截面象刚性平面一样绕杆截面象刚性平面一样绕杆的的的的轴轴轴轴线线线线转动的一个角度转动的一个角度转动的一个角度转动的一个角度. . 经过半径经过半径经过半径经过半径 O O2 2D D 上任一点上任一点上任一点上任一点G G的的的的纵向线纵向线纵向线纵向线EGEG 也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度 ρ ρ，，它也就是横截面半径上任它也就是横截面半径上任它也就是横截面半径上任它也就是横截面半径上任一点一点一点一点E E处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变aabATTdxDbGEEAO1Ddj D'G'GO2d/2dxgrgr 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案28 式中 ——相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j' 来表示，对于给定的横截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内第三章第三章 扭转扭转bbTTO1O2dj GG'DD'aadxAEggrr 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案29(2) 物理方面由剪切胡克定律 t = Gg 知第三章第三章 扭转扭转 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径rodAdA 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案30(3) 静力学方面其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质从而得等直圆杆弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以 代入上式得：第三章第三章 扭转扭转rodAdA 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案31式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3横截面周边上各点处(r = r)的最大切应力为第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案32实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案33思考：思考：对于空心圆截面， ,其原因是什么？空心圆截面：第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案34 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体单元体。
可得：Ⅱ. Ⅱ. 单元体单元体· 切应力互等定理切应力互等定理 由单元体的平衡条件∑Fx=0 和∑Mz=0 知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy 力偶第三章第三章 扭转扭转由xydydzabdzdxc 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案35第三章第三章 扭转扭转xydydzabdzdxc 单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的这种状态，称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态 即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理切应力互等定理 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案36 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力Ⅲ. Ⅲ. 斜截面上的应力斜截面上的应力第三章第三章 扭转扭转xydydzabdzdxct′t tt′t tana abcdef 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案37分离体上作用力的平衡方程为利用t =t '，经整理得第三章第三章 扭转扭转bef 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案38由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；，如图所示。
第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案39第三章第三章 扭转扭转低碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案40低碳钢扭转破坏断口 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案41铸铁扭转破坏试验过程第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案42铸铁扭转破坏断口第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案43 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？第三章第三章 扭转扭转 对于剪切强度低于拉伸强度的材料（例如低碳钢），破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断剪断产生的，而对于拉伸强度低于剪切强度的材料（如铸铁），其破坏是由杆的最外层沿与轴线约成45o倾角的螺旋形曲面发生拉断拉断而产生的a））（（b）） 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案44 例题例题3- -2 实心圆截面轴Ⅰ(图a)和空心圆截面轴Ⅱ(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。
试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案45解：第三章第三章 扭转扭转由t1,max=t2,max，并将a ＝0.8代入得 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案46两轴的重量比即为其横截面面积之比：空心圆轴的自重比实心圆轴轻实际应用中，尚需考虑加工等因素第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案47Ⅳ.Ⅳ. 强度条件强度条件此处[t]为材料的许用切应力对于等直圆轴亦即 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件第三章第三章 扭转扭转强度条件的应用：三类计算 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案48 例题例题3- -4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm扭转力偶矩MA =22 kN·m，MB =36 kN·m，MC =14 kN·m，材料的许用切应力[t ]=80 MPa。
试校核该轴的强度第三章第三章 扭转扭转ABCMAMBMC 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案49BC段内AB段内解：解：1. 绘扭矩图 2. 求每段轴的横截面上的最大切应力第三章第三章 扭转扭转+2214ABCMAMBMC 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案503. 校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核 t2,max >t1,max，但有t2,max<[t ] = 80MPa，故该轴满足强度条件第三章第三章 扭转扭转+2214ABCMAMBMC 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案51§3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形·刚度条件刚度条件Ⅰ. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量第三章第三章 扭转扭转MeADB CMe 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案52 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案53 例题例题3- -5 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 N·m，M2 = 955 N·m，M3 = 637 N·m，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。
试求横截面C相对于B的扭转角jCB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)第三章第三章 扭转扭转BCA12 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案54BCA12 解法解法解法解法1 1 ：假设：假设：假设：假设 A A截面不动，先分别计算截面截面不动，先分别计算截面截面不动，先分别计算截面截面不动，先分别计算截面 B B、、、、C C 对截对截对截对截 面面面面 A A 的相对扭转角的相对扭转角的相对扭转角的相对扭转角φ φABAB 和和和和φ φACAC 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案55与与转向同转向同BCA12 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案56BCA12 与与转向同转向同 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案57截面截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 φBC 为为转向与转向与 m3 相同相同BCA12 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案58ABC解法解法解法解法 2 2 ：设截面：设截面：设截面：设截面 B B固定不动固定不动固定不动固定不动，先分别计算，先分别计算，先分别计算，先分别计算mm1 1、、、、mm3 3 单独单独单独单独作用下截面作用下截面作用下截面作用下截面 C C 对截面对截面对截面对截面 B B 的的的的相对扭转角相对扭转角相对扭转角相对扭转角φ φ BC1 BC1 和和和和φ φBC2BC2，，，，然后叠加，即采用叠加法。
然后叠加，即采用叠加法然后叠加，即采用叠加法然后叠加，即采用叠加法mm1 1单独作用下截面单独作用下截面单独作用下截面单独作用下截面 C C 对截面对截面对截面对截面 B B 的相对扭转角的相对扭转角的相对扭转角的相对扭转角φ φ BC1 BC1 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案59ABCm3转向与转向与m3同同mm3 3 单独作用下截面单独作用下截面单独作用下截面单独作用下截面 C C 对对对对截面截面截面截面 B B 的相对扭转角的相对扭转角的相对扭转角的相对扭转角φ φBC2BC2，，C C 截面对截面截面对截面截面对截面截面对截面 B B 的相对的相对的相对的相对扭转角扭转角扭转角扭转角 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案60Ⅱ. Ⅱ. 刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[j']≈0.15~0.30 (°)/m；对于一般的传动轴[j']≈2 (°)/m第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案61解解: 1. 按强度条件求所需外直径D 例题例题3-6 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。
已知材料的许用切应力[t ] = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kN·m，轴的许可单位长度扭转角[j']=0.3 (°)/m试选择轴的直径第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案622. 按刚度条件求所需外直径D3. 空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案63例：例：例：例： 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用是用是用 40 40 号钢的电焊钢管制成，号钢的电焊钢管制成，号钢的电焊钢管制成，号钢的电焊钢管制成，钢管外径钢管外径钢管外径钢管外径D D=76mm=76mm，壁厚，壁厚，壁厚，壁厚t t=2.5mm=2.5mm，轴传递的转矩，轴传递的转矩，轴传递的转矩，轴传递的转矩MM=1.98KNm,=1.98KNm,材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力 [ [ ] = 100MPa] = 100MPa，剪变模量为，剪变模量为，剪变模量为，剪变模量为 G G = 80GPa = 80GPa ，，，，轴的许可扭角轴的许可扭角轴的许可扭角轴的许可扭角[ [ ] = 2 ] = 2 /m /m 。
试校核轴的强度和刚度试校核轴的强度和刚度试校核轴的强度和刚度试校核轴的强度和刚度DdtMM 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案64DdtMM解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内，外径之比轴的内，外径之比轴的内，外径之比轴的内，外径之比由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件由刚度条件由刚度条件 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案65§3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能纯剪切应力状态下的应变能密度纯剪切应力状态下的应变能密度第三章第三章 扭转扭转 对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功xydydzabdzdxc 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案66于是，当材料弹性范围内工作时(t ≤tp，见图b)，有第三章第三章 扭转扭转xydydzabdzdxc 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案67 单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVε=dW 。
单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为由剪切胡克定律t =Gg，该应变能密度的表达式可写为第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案68 在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由 可知，亦有第三章第三章 扭转扭转Me 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案69 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为 弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：第三章第三章 扭转扭转Me 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案70 例题例题3-7 图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块， D截面处作用有外力偶矩 Me 试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角 jD第三章第三章 扭转扭转ABCDMel/2l 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案71T2=MeD MeT1=-MeBCD Me解解 : 1. 静力平衡求扭矩2. 杆系应变能其转向与Me 相同。
ABCDMe3. 求D 截面的扭转角 jD 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案72 例题例题3- -8 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a < 5°)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案73解：解：1. 求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F 作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：剪力 FS =F扭矩 T =FR第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案742. 求簧杆横截面上的应力 簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去又，在通常情况下，簧圈直径D = 2R与簧杆直径d 的比值D/d 较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响于是有第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案753. 求弹簧的缩短(伸长)变形 当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时，变形Δ与外力F成线性关系(如图)。
于是有外力所作功：第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案76 至于簧杆内的应变能Vε，如近似认为簧杆长度l =2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T = FR，则 根据能量守恒原理 W=Vε，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短(伸长)变形近似计算公式：如令 ，则有 ，式中k 为弹簧的刚度系数(N/m)第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案77§§3- -7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形Ⅰ. Ⅰ. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点等直非圆形截面杆扭转时的变形特点 横截面不再保持为平面而发生翘曲平面假设不再成立 自由扭转(纯扭转)——等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案78 约束扭转——非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。
第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案79l 横截面边缘处的切应力横截面边缘处的切应力u 横截面的横截面的边缘点边缘点切应力与边界切应力与边界相切相切u 横截面的横截面的凸角处凸角处切应力为切应力为零零 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案80 假定微元各面上的切应力如图中所示由于垂假定微元各面上的切应力如图中所示由于垂直于直于y、、z坐标轴的杆表面均为自由表面坐标轴的杆表面均为自由表面(无外力作用无外力作用)，故微元上与之对应的面上的切应力均为零，即，故微元上与之对应的面上的切应力均为零，即 根据切应力成对定理，角点微元垂直于根据切应力成对定理，角点微元垂直于x轴的面轴的面(对应于杆横截面对应于杆横截面)上，与上述切应力互等的切应力上，与上述切应力互等的切应力也必然为零，即也必然为零，即 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案81Ⅱ. Ⅱ. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案82(1) 一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆横截面上的最大切应力在长边中点处：Wt——扭转截面系数，Wt=bb3，b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。
横截面上短边中点处的切应力： t =ntmaxn 为与m=h/b相关的因数(表3-1)第三章第三章 扭转扭转单位长度扭转角： It——相当极惯性矩， , a 为与m = h/b 相关的因数(表3-1) 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案83表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a，b 和 n第三章第三章 扭转扭转m=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0a bn0.1400.2081.0000.1990.263__0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645__0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.743 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案84(2) 狭长矩形截面等直杆第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩由表由表由表由表 3-1 3-1 查得查得查得查得 例题例题3-83-8 一矩形截面的等直钢杆一矩形截面的等直钢杆, , 其横截面尺寸其横截面尺寸, h=100mm, b = 50mm, 长度长度 l = 2m, 在杆两端作用一对矩在杆两端作用一对矩 M = 4 kN·m 的扭转的扭转力偶力偶. 钢的许用切应力钢的许用切应力[ [ττ] ] = 100 MPa , 剪切模量剪切模量 G = 80GPa, 许许可可单位长度扭转角单位长度扭转角 [ ]=1 /m . 试试校核该杆的强度和刚度校核该杆的强度和刚度. 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案86例例 某菜油机曲轴的曲柄截面某菜油机曲轴的曲柄截面I – I可以认为是矩形截可以认为是矩形截面。
在适用计算中，其扭矩切应力近似地按矩形截面在适用计算中，其扭矩切应力近似地按矩形截面杆受扭计算若面杆受扭计算若b=22mm，，h=102mm，已知曲柄，已知曲柄收受扭矩为收受扭矩为T=281N·M，试求这一矩形截面上的最大，试求这一矩形截面上的最大切应力 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案87解：由曲柄解：由曲柄I – I的尺寸求得的尺寸求得查表查表3.2，并利用插入发，求出，并利用插入发，求出于是由公式（于是由公式（3.22）和（）和（3.24b）得）得 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案88 思考：思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面顶点处的切应力总是等于零为什么？第三章第三章 扭转扭转一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案89 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案90* *§§3- -8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形Ⅰ. 开口薄壁截面杆开口薄壁截面杆( (例如角钢、工字钢和槽钢例如角钢、工字钢和槽钢) )第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案91 2. 不考虑横截面相邻组成部分(矩形)在连接处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即第三章第三章 扭转扭转近似假设：近似假设： 1. 认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角 相同，且就是杆的单位长度扭转角j'，即 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案92(1) 应力及变形的计算公式应力及变形的计算公式由假设(1)有将上式中的前n 项的分子分母各自相加后有式中，T 为杆的整个横截面上的扭矩，It 为整个横截面的相当极惯性矩。
第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案93 根据假设2并注意到 可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为(2) 各组成部分横截面上的最大切应力各组成部分横截面上的最大切应力 tmax 而整个杆的横截面上的最大切应力tmax在厚度最大(dmax)的那个矩形的长边中点处：第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案94(3) 杆的单位长度扭转角杆的单位长度扭转角根据实验结果有： 角钢截面h =1.00,槽钢截面h =1.12,T形钢截面h =1.15，工字钢截面h =1.20式中， 对于型钢，由于其横截面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数h后的相当极惯性矩It：第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案95 例题例题3-9 钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图所示已知：作用于杆两端的扭转力偶矩为Me= 30 N·m，平均直径d0= 40 mm，壁厚d = 2 mm；钢的切变模量G=80 GPa。
试计算： (1)该开口环形截面杆横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角； (2)若该杆无纵向切缝，求横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案96 解：解：1. 有纵向切缝的杆(开口薄壁截面杆) 计算中可将开口环形薄壁截面展开为狭长矩形截面来处理第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案97横截面上切应力沿厚度的变化规律及指向如图第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案98 横截面上切应力沿厚度的变化规律及指向如图 与有纵向切缝的杆相比，此杆横截面上的最大切应力和单位长扭转角的值以及横截面上的应力情况有了巨大变化第三章第三章 扭转扭转2. 无纵向切缝的杆(薄壁圆筒) 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案99 近似假设：横截面上各点处的切应力的大小沿壁厚无变化，切应力的方向与壁厚中线相切。
Ⅱ.Ⅱ.闭口薄壁截面杆闭口薄壁截面杆( (任意闭口截面的变厚度薄壁等直杆件任意闭口截面的变厚度薄壁等直杆件) )第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案100(1) 应力的计算公式应力的计算公式 由相距dx的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵截面取出如图所示的分离体如果横截面上C 和D两点处的切应力分别为t1和t2，则根据切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力t1和t2第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案101 若C 和D 两点处的壁厚分别为d1和d2，则由该分离体的平衡条件∑Fx=0有 t1d1d x=t2d2d x 从而知亦即横截面上沿周边任一点处td 为常量第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案102从而有(参见图)：于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切应力的计算公式： 薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适用此公式事实上此式即是§3-2中导出的公式第三章第三章 扭转扭转式中，A0为壁厚中线所围的面积。
材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案103 闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力tmax在最小壁厚dmin处： 值得注意的是，开口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力tmax是在壁厚最大的组成部分的长边中点处第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案104(2) 杆的单位长度扭转角的计算公式杆的单位长度扭转角的计算公式杆内任一点处的应变能密度：单位长度杆内的应变能：当壁厚d为常数时有单位长度杆两端截面上的扭矩作的功：于是，根据Vε=W 得单位长度扭转角的计算公式：第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案105 例题例题 3-10 一等厚度环形薄壁截面杆(图a)和一等厚度正方的箱形薄壁截面杆(图b) 横截面面积相等(A1=A2)，壁厚d 亦相等，两杆的材料和杆的横截面上的扭矩T 都相同试求两杆横截面上切应力之比 和两杆单位长度扭转角之比(j1'/j2')第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 Ⅰ Ⅰ 电电 子子 教教 案案1062. 求3. 求 由以上结果可知，在横截面面积相等等规定条件下，环形截面杆的抗扭性能比正方的箱形截面杆要好。
解：解：1. 根据 A1 = A2 求 r0 与 b 的关系由2pr0d = 4bd 得第三章第三章 扭转扭转第三章第三章 完完 。