证明题标准答案

证明题答案及评分标准证明题答案及评分标准（每题（每题 10 分）分）1. 证明狄利克雷函数证明狄利克雷函数在在区间上不可积区间上不可积为有理数为无理数1,xD( x )0,x       0,1证明：对于任意的分法 T，当全取有理数时，得当   i nniii i 1i 1D() xx1;         全取无理数时，所以无论多么小，只要点集   i nniii i 1i 1D() x0. x0.         ||||T取法不同，积分和有不同极限，因此不可积   i 2. 用用 Cauchy 一致收敛准则证明：一致收敛准则证明：1( )n nfx   若若函函数数级级数数与与1( )n ngxI   在在区区间间都都一一致致收收敛敛, ,1( )( )nn nafx + bgx       则则在在Ia,b区区间间也也一一致致收收敛敛, , 其其中中是是常常数数. .证明：证明：1( )n nfxI   已已知知在在区区间间一一致致收收敛敛, ,Cauchy由由一一致致收收敛敛准准则则, ,110,,,,[ , ],NNnNpNxa b                12( )( )...( )nnnpfxfxfx        1( )n ngxI   已已知知在在区区间间一一致致收收敛敛, ,220,,,,[ , ],NNnNpNxa b               对对上上述述12( )( )...( )nnnpgxgxgx        …………（（4 分）分）  12max,NNN 故故取取，，有有11( )( )...( )( )nnnpnpafxbgxafxbgx        11( )...( )( )...( )nnpnnpafxfxbgxbgx              …………（（8 分）分）  ab      120,max,,,,[ , ],NNNNnNpNxa b                 于于是是有有 …（（10 分）分）Cauchy由由一一致致收收敛敛准准则则, ,1( )( )nn nafx + bgxI       在在区区间间一一致致收收敛敛. .3.证明证明:若若 f(x)在在[a,b]单调增加单调增加,则则( )()( )d( )()baf a baf xxb ba     证明：证明： ∵∵f(x)在在[a,b]单调增加单调增加, ∴∴ f(x)在在[a,b]可积可积,……………………（（3 分）分） ()01( )dlim()nbkkal Tkf xxfx       ∵∵对对[a,b]的任意分法的任意分法 T, （（6 分）分）1,,( )()( )kkkkxxf aff b           …………（（8 分）分）( )()( )kkkkf axfxf bx         故故…………（（10 分）分）( )()( )d( )()baf a baf xxf b ba     取取极极限限，，有有4. 为为上严格递增的连续函数曲线（如下图）上严格递增的连续函数曲线（如下图） 。

试证存在试证存在使图中   设设y y= =f fx x  a,b  a,b  两阴影面积证明：构造函数     xbaxF xf tf adtf bf tdt由于在上连续，所以也连续再由在为严格递增可推出 f x, a b F x f x, a b  0,0F aF b故由零点存在定理可知，至少存在一点，使, a b 0F即    baf tf adtf bf tdt因此    baf xf adxf bf xdx5. ,()nnnnabab    证证明明: : 若若级级数数收收敛敛, ,发发散散则则发发散散. .证明：假设证明：假设 ……………（（2 分）分）,()nnab  收收敛敛,nnnnbaba   因因为为,()nnnnbaba      ……………………（（6 分）分）……（（10 分）分）..nb 于于是是有有收收敛敛矛矛盾盾6.     1( )0.nx nfx  证证明明函函数数列列：：在在( ( , , + + ) )一一致致收收敛敛证明：证明： …………（（4 分）分）1( )lim( )lim0nnnx nf xfx       极极限限函函数数…………（（8 分）分）1limsup( )( )limsup0nnnx Cx Cx nf xfx         ……………（（10 分）分）    1( )0.nx nfx  故故函函数数列列：：在在( ( , , + + ) )一一致致收收敛敛7. 证证明明：：级级数数在在一一致致收收敛敛. .11()(1)(0,+ )nx n x n        证明：证明： ……………（（3 分）分）0( )( )111npnSxSxnx n            , , 考考察察……………（（6 分）分）111,.nNNn            由由解解得得故故取取10,( )( )npnNNnN SxSx                   于于是是由由柯柯西西一一致致收收敛敛准准则则，，, ,, ,………（（10 分）分）11()(1)(0,+ )nx n x n        故故级级数数在在一一致致收收敛敛. .8. 证明：函数证明：函数在在[0,1]区间上可积区间上可积   0,0, 111,,1,2,1x fxxnn nn           L L证明：因为证明：因为为为区间上的单调函数，且有界区间上的单调函数，且有界，由单调有界必，由单调有界必 f x0,1 || 1f x 可积，得到可积，得到在在上是可积的上是可积的 f x0,19. sin2 0d22xeex      证证明明: :证明：证明： ….…（（5 分）分）sin[0,]0sin112xxee     在在上上，，于于是是有有…..…（（10 分）分）sin2 022xeedx      于于是是有有，，10. 4413sinnnxR nx    证证明明：：级级数数在在上上一一致致收收敛敛. .证明：根据证明：根据 M 判别法判别法, ……（（4 分）分）4333444|sin||sin|10:( )nnxnx nxnnxux     时时……………（（6 分）分）0:x   时时上上式式也也成成立立. .443311,,( )nnnnNxR ux         且且正正项项级级数数收收敛敛, ,………（（10 分）分） 4413sinnnxR nx    故故级级数数在在上上一一致致收收敛敛. .11.设设 f(x)在在[a,b] 连续连续, 在在(a,b)可导可导,且且。

2( )d( )2a baf xxf bb a     ( , ),( )0.a bf     证证明明：：存存在在使使证明：证明：,,,2aa b        由由积积分分中中值值定定理理知知…………（（5 分）分）22( )( )d( )a baff xxf bba       使使再对再对 f(x)在在[ηη,b] 应用罗尔定理应用罗尔定理,…………（（10 分）分）( , )( , ),( )0.ba bf         使使12. 设设在在上二次连续可微，上二次连续可微，，试证：，试证： xfba,02 baf 3||24baf x dxM ba其中其中 sup |''| a x bMfx  证明：将在处用 Taylor 公式展开，注意到，有 f x2abx02abf  21'''222!2abababf xfxfx右端第一项在上的积分等于零。

故, a b  21|||''|2!2bbaaabf x dxfxdx3 31|6224b aabMMxba13.设设 f(x)在在[a,b] 连续，在连续，在(a,b)可导，且可导，且，，试试'( )0fx  1( )( )d ,xaF xf ttxa   用积分中值定理证明：用积分中值定理证明：（（1））（（2））( , ),xa b 当当时时( )( )F xf x '( )0Fx  证明：（证明：（1））1,( )( )( )()xaF xf t dtfaxbxa         由由积积分分中中值值定定理理知知，，'( )0,( )( )( )fxf xxff x     因因为为则则为为增增函函数数，，当当时时…………（（5 分）分）( )( )( )F xff x   所所以以（（2））' 2() ( )( ) ( )()xaxa f xf t dt Fxxa      又又因因为为2() ( )() ( )1[ ( )( )],.()xa f xxa ff xfaxbxaxa              其其中中………（（10 分）分）( )( )00'( )0f xfxaFx      而而，，，，故故14. 证明：若函数列在一致收敛于极限函数，且，函数在一R f xnN  nfxR致连续，则函数在也一致连续。

 f xR证明：因为函数列在一致收敛于极限函数，即 nfxR f x2 分0,,,,NNnNxR    有  ||nfxf x1 分  ,,||mmNxRfxf x 取定有又已知在一致连续，即 mfxR2 分12120,0,,:||,。