2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 (1-8 小题 ,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限2lim()()xxxxaxb= (A)1 (B)e(C)ea b(D)eba(2) 设 函 数( ,)zz x y由 方 程(,)0y zFx x确 定 , 其 中F为 可 微 函 数 ,且20,F则zzxyxy= (A)x(B) z(C)x(D)z(3)设,m n为正整数 ,则反常积分210ln (1)mnxdxx的收敛性(A) 仅与m取值有关(B) 仅与n取值有关(C)与,m n取值都有关(D) 与,m n取值都无关(4)2211lim()()nnxijnninj= (A)12001(1)(1)xdxdyxy(B)1001(1)(1)xdxdyxy(C)11001(1)(1)dxdyxy(D)112001(1)(1)dxdyxy(5)设A为m n型矩阵,B为n m型矩阵 ,若,ABE则(A) 秩(),mA秩()mB(B)秩(),mA秩()nB(C)秩(),nA秩()mB(D)秩(),nA秩()nB(6)设A为 4 阶对称矩阵 ,且20,AA若A的秩为 3,则A相似于(A)1110(B)1110(C)1110(D)1110(7)设随机变量X的分布函数( )F x00101,21e2xxxx则1 P X= (A)0 (B)1 (C)11e2(D)11 e(8)设1( )fx为标准正态分布的概率密度2,( )fx为 1,3上均匀分布的概率密度, ( )f x12( )( )afxbfx00 xx(0,0)ab为概率密度 ,则,a b应满足(A)234ab(B)324ab(C)1ab(D)2ab二、填空题 (9-14 小题 ,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设20e ,ln(1),ttxyudu求220td ydx= . (10)20cosxxdy= . (11)已知曲线L的方程为1 1,1,yx x起点是( 1,0),终点是(1,0),则曲线积分2Lxydxx dy= . (12)设22(, , ) |1,x y zxyz则的形心的竖坐标z= . (13)设123(1,2,1,0),(1,1,0, 2) ,(2,1,1,) ,TTT若由123, 形成的向量空间的维数是2,则= . (14)设随机变量X概率分布为(0,1,2,),!CP Xkkk则2EX= . 三、 解答题 (15 23 小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10 分) 求微分方程322 exyyyx的通解 . (16)(本题满分10 分) 求函数221( )()extfxxtdt的单调区间与极值. (17)(本题满分10 分) (1)比较10lnln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n的大小 ,说明理由 . (2)记10ln ln(1)(1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu(18)(本题满分10 分) 求幂级数121( 1)21nnnxn的收敛域及和函数. (19)(本题满分10 分) 设P为椭球面222:1S xyzyz上的动点 ,若S在点P的切平面与xoy面垂直 ,求P点的轨迹,C并计算曲面积分22(3)2,44xyzIdSyzyz其中是椭球面S位于曲线C上方的部分 . (20)(本题满分11 分) 设11010 ,1 ,111aAb已知线性方程组Axb存在两个不同的解. (1)求, . a(2)求方程组Axb的通解 . (21)(本题满分11 分) 设二次型123(,)Tf xxxAxx在正交变换xyQ下的标准形为2212,yy且 Q 的第三列为22(,0,) .22T(1)求.A(2)证明AE为正定矩阵 ,其中E为 3 阶单位矩阵 . (22)(本题满分11 分) 设二维随机变量()XY的概率密度为2222( , )e,xxyyf x yAxy求常数及A条件概率密度|(|).Y Xfy x(23)(本题满分11 分) 设总体X的概率分布为X1 2 3 P122其中(0,1)未知 ,以iN来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(1,2,3),i试求常数123,a aa使31iiiTa N为的无偏估计量 ,并求T的方差 . 答案：CBDD ADCA 9. 0 10.411. 0 12.3213. 6 14. 2 解答题15. .)2(,2, 1,22)4()(,)2()(,)(.2, 10232212*2*22121xxxxxxxxexxeCeCybaebaxbaaxyebxbaaxyebaxxyeCeCYrryyy故所求通解得为代入原方程解得则设原方程的特解形式为其通解为的两个特征根为解：对应齐次方程16. .1,0,2)(,)(),()(2222221112xdtexxfdttedtexxfxfxtxtxt所以驻点为由于的定义域解：列表讨论如下：x ) 1 ,(-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) )(xf- 0 + 0 - 0 + )(xf极小极大极小).1 (21)0(,0) 1(101-101-)(1102edtteffxft极大值为）；极小值为，）及（，（），单调递减区间为，）及（，的单调增加区间为（因此，17 0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)1ln(ln0)1()2(.ln)1ln(ln,ln)1ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttdtttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解：18 .1 , 1arctanarctan)( 1 , 1)(1, 1)() 1 , 1(,0arctan)0(11)()1 , 1(,11)(11)() 1 , 1(,)() 1()() 1 , 1(12) 1()()12) 1(12) 1()()2(.1.1,12)1(12)1(1111) 12() 12(lim) 12()12(lim12) 1(1) 1(2)1(lim10212211112221111211112112111121222)1(221)1(211xxxxxxSxSxxSxxSdxxxSxxxxSxxxxSxxnxSxnxxnxSnxnxxxxnnxnxnxnxnxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn，幂级数的和函数为上是连续的。
在收敛域上连续的，所以在，令设故原级数的收敛域为此级数收敛由莱布尼兹判别法知，时，当时级数收敛解：令19 34)3(444)2)(3(, 1:43-1211)2(021);2,2,2(),(, 1),(1222222222222222DDdxdyxdsyzzyzyxyxDxoyyxyzyzzyxyzyzzyxCxoyyzzyxzyxPyzzyxzyxF故的投影为在：的由的方程为：，故所求曲线由切平面垂直的切平面的法向量为故动点）令（20 为任意常数其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去所以时，因为当或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设kkxbAxBaabAxBaabAbAxbAxbArArAAxbAx,10101321,021230000101012, 1)2(.22212300001010111111020111),1-,),()(11-1,0) 1()1(0-2,) 1(2212121 为正定矩阵实对称矩阵，故为又的特征值为于是的特征值为知有故，则有令向量的两个正交的单位特征的属于特征值为，），取（，即征向量正交，所以（的属于不同特征值的特的特征向量，因为的属于特征值为设（的一个特征向量。
的属于特征值为且的特征值为由题设，解：EAEAEAAAxxxxxxxxTTTTT, 1 ,2,2,0,1, 1A)1()2(.10102010121011,01122022-01022022Q1A)0,1 ,0(22-022.00101),A1A),0A)1 ,0,1(,0,1 ,1A)1(T3132132122 .,1111)(),()(),(.1,)(1,),()(22222222222222)(222)()(22yeeeexfyxfxyfxAAdxeAdxxfxeAdyeAedyeAdyeAdyyxfxfyxyxyxxyxyxXXYxXxxyxxxyyxyxX时，当从而所以解：因23 .)1 ()1(1),1 ,(10,0,1,0)()1(.)()1(,3 ,2, 1),(.,121232123121232212322133221123221nnnDNnDTnBNnaaaaanaaaaaanTaaanENaENaENaETnpENipnBNppptiiii故注意到由此得因此，的无偏估计量，必有是为使于是故由于解：记。