微专题：三角函数的周期性【考点梳理】1. 周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2. 关于周期性的常用结论(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一. 例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期. 同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R). (2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期. (3)周期函数的定义域是无限集. (4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质. 因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质. 3. 正、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其半周期；图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值的点与其相邻的零点距离为周期. 4.求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义；②利用公式y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为；③对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定. 【题型归纳】题型一：求三角函数的周期1．已知函数，则的（ ）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）A． B． C． D．3．将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（ ）A．是奇函数，最小正周期为B．是偶函数，最小正周期为C．是奇函数，最小正周期为D．是偶函数，最小正周期为 题型二：根据三角函数的周期求参数 4．已知函数的最小正周期为π，图象的一个对称中心为，则=（ ）A． B． C． D．5．已知奇函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（ ）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称6．若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是（ ）A． B． C． D．【双基达标】7．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）A． B． C． D．8．函数的最小正周期和最大值分别为（ ）．A．，1 B．， C．， D．，9．函数是一个（ ）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数10．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）A． B． C． D．11．已知函数，下面结论错误的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称D．函数是偶函数12．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）A． B．C． D．13．函数的最小正周期是，则（ ）A．4 B．2 C． D．2或14．已知函数，则（ ）A．是偶函数 B．函数的最小正周期为C．曲线关于对称 D．15．函数是（ ）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数16．设函数（其中）的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）A． B． C．2 D．417．在①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③18．设函数，，则下列结论错误的是（ ）A．的值域为 B．是偶函数C．不是周期函数 D．不是单调函数19．已知函数，则（ ）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．的最大值为 D．的图象关于直线对称20．函数是（ ）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数21．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数 在上没有零点，则 的取值范围是（ ）A． B．C． D．22．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）A．5 B．7 C．9 D．1123．设函数，则下列结论正确的是A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点是 D．在单调递增24．函数，则的最小正周期和最大值分别为（ ）A． B． C． D．25．若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）A．的最小正周期是 B．的值域为C．的初相 D．在上单调递增【高分突破】一、 单选题26．函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A． B． C． D．27．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（ ）A． B．C． D．28．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（ ）A． B． C． D．29．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A． B．C． D．30．关于函数描述正确的是（ ）A．最小正周期是 B．最大值是C．一条对称轴是 D．一个对称中心是31．直线与函数的图像相交，则相邻两交点间的距离是（ ）A． B． C． D．二、多选题32．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）A．B．当时，函数单调递增C．当时，点到轴的距离的最大值为D．当时，33．已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有（ ）A．当时，的取值范围是B．当时，的取值范围是C．当时，的取值范围是D．当时，的取值范围是34．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．若的最小正周期是，则B．当时，的对称中心的坐标为C．当时，D．若在区间上单调递增，则35．关于函数，下列说法正确的是（ ）A．的最小正周期为B．的定义域为C．的图象的对称中心为D．在区间上单调递增三、填空题36．关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为2；②的图象关于点对称；③若，则的最小值为；④的图象与曲线共有4个交点．其中所有真命题的序号是__________．37．已知函数，给出下列四个结论：①的值域是；②是以为最小正周期的周期函数；③在上有个零点；➃在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是___________．38．设，则______.39．函数的部分图象如图所示，给出以下结论：① 的最小正周期为2；② 的一条对称轴为；③ 在，上单调递减；④ 的最大值为；则错误的结论为________.40．已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：___________.①定义域为R；②；③；④.41．函数的最小正周期满足，则自然数的值为_______．四、解答题42．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．43．已知函数(1)求函数的最小正周期及对称轴；(2)若，求函数的值域．44．在①函数为偶函数；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，且______．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的增区间．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．45．已知函数，求：（1）的最小正周期；（2）的单调递增区间；（3）取最大值时自变量x的集合.46．已知函数．(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)若且，求的值．第 9 页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1．B【解析】【分析】先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值.【详解】因为，所以最小正周期为,最小值为.故选：B.2．B【解析】【分析】利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最小正周期，且在区间上单调递减，判断正确.【详解】选项A：最小正周期为.判断错误；选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；选项C：最小正周期为.判断错误；选项D：在区间上单调递增. 判断错误.故选：B3．A【解析】【分析】根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.【详解】向左平移个单位后得，所以为奇函数，最小正周期为.故选：A4．A【解析】【分析】利用二倍角公式公式将函数化简，根据函数的周期求出，再根据函数的对称性求出.【详解】解：因为，所以，得.因为图象的一个对称中心为，所以，所以，得，因为，所以，.故选：A．5．A【解析】【分析】先由奇函数及周期求得，再由平移求得，再利用正弦函数的对称性求解即可.【详解】因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，则，则，令，解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A正确，B错误；令，解得，当时，，时，，C错误，D错误.故选：A.6．A【解析】【分析】首先根据题意得到，再求其单调增区间即可.【详解】因为图象的两个相邻最高点间的距离为，所以，解得，.，解得，.当，.故选：A7．B【解析】【分析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；B选项：是周期为的奇函数，故B正确；C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.故选：B.8．D【解析】【分析】利用和角的正弦、余弦公式化简，再利用三角函数的性质即可得解.【详解】依题意，，则，，当，即时，，，所以原函数的最小正周期和最大值分别为，.故选：D9．A【解析】【分析】根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.【。
