[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题58解答题问题:1. 设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由确定，其中f连续可偏导，h连续，求．答案:解 两边对x求偏导得 解得 根据对称性，得 所以， 问题:2. 设证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续．答案:[证明] 因为 所以f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导，且f'x(0，0)=f'y(0，0)=0． f(x，y)-f(0，0)-f'x(0，0)x-f'y(0，0)y=，其中， 因为所以f(x，y)在(0，0)处可微． 当(x，y)≠(0，0)时， 因为不存在，所以在点(0，0)处不连续，同理在点(0，0)处也不连续．设3. f(x，y)在点(0，0)处是否连续?答案:解 因为，所以，故f(x，y)在点(0，0)处连续．4. f(x，y)在点(0，0)处是否可微?答案:解 因为，所以f(x，y)在点(0，0)处不可微．问题:5. 设z=(x2+y2)sec2(x+y)，求．答案:解 由z=(x2+y2)sec2(x+y)，得z=esec2(x+y)ln(x2+y2)， 则 设u=u(x，y，z)连续可偏导，令6. 若，证明：u仅为θ与φ的函数．答案:[证明] 因为 所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数． 7. 若，证明：u仅为r的函数．答案:[证明] 因为 令 从而=t(r2cos2θcosφsinφ)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(-r2sinφcosφ)=0， 故u仅是r的函数，即u不含θ与φ。
问题:8. 设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．证明： 答案:[证明] 令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，两边对t求导得 当t=1时，有 问题:9. 设，求．答案:解 则．问题:10. 设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且，求．答案:解 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 所以，于是． 三个方程两边对y求偏导得 问题:11. 设函数z=f(u)，方程确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ'(u)连续，且φ'(u)≠1，求 答案:解 z=f(u)两边对x及y求偏导，得． 方程两边对x及y求偏导，得 ，解得 ，于是．问题:12. 设z=z(x，y)满足，令 证明：．答案:[证明] 由则 问题:13. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．答案:求f(x，y)在区域D的边界上的最值， 在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0； 在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0； 在L3：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2， 由得x=4，因为f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L3上最小值为-64，最大值为0． (2)在区域D内，由得驻点为(2，1)， 因为AC-B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4， 故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)-64，最大值为M=f(2，1)=4． 问题:14. 求函数u=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的点(x0，y0，z0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?答案:解 球面x2+y2+z2=1在点(x0，y0，z0)处的外法向量为n={2x0，2y0，2z0}， 方向余弦为，cosβ=y0，cosγ=z0， 又，所求的方向导数为． 令F=x+y+z+λ(x2+y2+z2-1)， 由 当时，方向导数取最大值；当时，方向导数取最小值． 问题:15. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为p1，p2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?答案:解 p1=120=5q1，p2=200-20q2，收入函数为R=p1q1+p2q2， 总利润函数为L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-[35+40(q1+q2)]， 由得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120，L(8，4)=605， 由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605． 问题:16. 设二元函数f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．答案:[证明] (必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f'x(0，0)，f'y(0，0)存在． 因为 且，所以φ(0，0)=0． (充分性)若φ(0，0)=0，则f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0． 因为 又 所以即f(x，y)在点(0，0)处可微．问题:17. 设Γ：x=x(t)，y=y(t)(α＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)在(α，β)内有连续的导数且x'2(t)+y'2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数．若P0∈Γ是函数f(x，y)在Γ上的极值点，证明：f(x，y)在点P0沿Γ的切线方向的方向导数为零．答案:[证明] 其中cosα，cosβ为切线τ的方向余弦． 当(x，y)∈Γ时，f(x，y)为t的一元函数f[x(t)，y(t)]，记P0对应的参数为t0， 因为t0为一元函数f[x(t)，y(t)]的极值点，所以， 而， Γ在点P0处的切向量为{x'(t0)，y'(t0)}，其对应的单位向量为 所以 又因为， 所以 问题:18. 已知二元函数f(x，y)满足作变换且f(x，y)=g(u，v)，若求a，b．答案:解 又所以有 于是 问题:19. 设f(x)连续，且f(0)=1，令，求F"(0)．答案:解 由 得F'(t)=2πtf(t2)，F'(0)=0， 问题:20. 计算二重积分答案:解 )其中D={(x，y)|0≤x≤1，-x≤y≤-1}， 令则 于是 问题:21. 计算．答案:解 令则 问题:22. 已知设D为由x=0，y=0及x+y=t所围成的区域，求．答案:解 当t＜0时，F(t)=0； 当0≤t＜1时， 当1≤t＜2时， 当t≥2时，F(t)=1，则 问题:23. 计算其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}． 故 答案:解 令D1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，D2={(x，y)|0≤x≤y，0≤y≤1}，则 由 问题:24. 计算，其中D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}．答案:解 令D1={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|-1≤x≤1，x2≤y≤2}， 则 问题:25. 计算．答案:解 令，解得， 则 问题:26. 计算，其中D由y=-x，围成．答案:解 将D分成两部分D1，D2，其中D1={(x，y)|0≤x≤1，}， 则 问题:27. 计算 答案:解 问题:28. 计算其中D为单位圆x2+y2=1所围成的第一象限的部分．答案:解 令 则 令 原式 因为 所以原式 问题:29. 计算二重积分，其中D是曲线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的区域．答案:解 根据对称性，其中D1是D位于第一卦限的区域． 令 则 故 问题:30. 设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大?答案:解 设球面S：x2+y2+(z-a)2=R2， 由得球面S在定球内的部分在xOy面上的投影区域为 球面S在定球内的方程为， ，所求面积为 令 因为，所以当时球面S在定球内的面积最大．问题:31. 设f(x)在[a，b]上连续，证明：答案:[证明] 令 则 问题:32. 设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得 答案:[证明] 因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得 mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y) 积分得 (1)当时，，则对任意的(ξ，η)∈D，有 (2)当时， 由得 由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得 即 问题:33. 设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：．答案:[证明] 令， ，0＜ξ＜x．因为f'(x)＞0，所以f'(x)单调增加，所以 φ"(x)＞0．由 φ(x)＞0(x＞0)φ(a)＞0，原不等式得证．问题:34. 设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b． 证明： 答案:[证明] 因为积分区域关于直线y=x对称， 所以，于是 又因为f(x)＞0，所以，从而 问题:35. 设f(x)连续， 其中V={(x，y，z)|x2+y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求．答案:解 问题:36. 设Ω：x2+y2+z2≤1，证明：．答案:[证明] 令f(x)=x+2y-2z+5， 因为f'x=1≠0，f'y=2≠0，f'z=-2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值． 令F(x，y，z，λ)=x+2y-2z+5+λ(x2+y2+z2-1)， 由得驻点为 因为f(P1)=8，f(P2)=2，所以在。