第 1 页 共 16 页 目录 1.把线段的最小值转化为垂线段最短型.1 2. 线段和的最小值转化为最短线段的和型.2 3.剩余面积的最小值转化为减去面积的最大值型.4 4.把线段的最小值转化为点到圆的距离最小型.5 5.把线段和的最小值转化为对称型.7 6.把线段的最小值转化为平方和最小型.8 7.把圆半径的最小值转化为平方和相等型.9 8.把线段的最小值转化为平行线间的距离型.10 9.把线段的最大值转化为二次函数最值型.12 10.把线段的最小值转化为点与圆的关系定理型.13 11.把线段的最大值转化为切线长最短型.15 中考数学最值问题的类型归纳与求解思路 最值是中考一个永恒的主题，也是一个重大的难题，解答最值问题不仅要准确理解题意， 更要准确找到取得最值的方式，最后才是运用数学知识给出数值.下面就把最值的题型归纳一 下，解答的思路梳理一下，供学习时借鉴. 1.把线段的最小值转化为垂线段最短型把线段的最小值转化为垂线段最短型 例 1如图 1，在 RtABC中，B90，AB4，BCAB，点D在BC上，以AC为 第 2 页 共 16 页 对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_ 分析：根据平行四边形的性质，得到DE=2OD，而点O是AC的中点，是一个定点，点 D是直线BC上的动点，要想使得OD最短，问题就转化成了垂线段最短原理，找到了最短的 方式，接下来就是综合所学知识求出这个最短距离即可. 解析：根据“垂线段最短”，可知：当ODBC时，OD最短，此时DE的值最小. 当ODBC时，则ODAB.所以OD是ABC的中位线.所以OD=AB2.所以DE的最小 值为：DE=2OD=4.所以应该填：4. 点评：将求DE的最小值转化为求DO的最小值，DO的最小值就是点D到BC的距离， 这种求解思路，同学们一定要熟练掌握，并灵活加以运用. 2.线段和的最小值转化为最短线段的和型线段和的最小值转化为最短线段的和型 3. 例 2由 6 根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动.已知各 钢管的长度为AB=DE=1 米，BC=CD=EF=FA=2 米. 第 3 页 共 16 页 （铰接点长度忽略不计） （1）转动钢管得到三角形钢架，如图 2,则点A，E之间的距离是米. （2）转动钢管得到如图 3 所示的六边形钢架，有A=B=C=D=120，现用三根钢条连 接顶点使该钢架不能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是米. 分析： 第一问利用平行线分线段成比例定理即可求得. 第二问：要想使得三条线段的和最小，只要我们确定出符合题意的三条最短的线段，问题 就可以的解.如图 3，很显然，在A,B,C,D,E,F中，连接AC,CE,BF是符合题意的最短的连接方 式之一，找到了最短的连接方式，求解就轻松了. 解析： （1）因为FA:AB=FE:ED,所以AEBD，所以=,得AE= （2）如图 3，过点C作CGAB，交AB的延长线与点G，则GBC=60，因为BC=2, 所以BG=1,CG=， 根据勾股定理， 得AC=,所以三条线段和的最小值为 3. 点评：把线段和的最小值转化成最短线段的和是解题的关键. 第 4 页 共 16 页 3.剩余面积的最小值转化为减去面积的最大值型剩余面积的最小值转化为减去面积的最大值型 例 3如图 4，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三 角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（） A6B3C2.5D2 分析：要想使得剩余的面积最小，就要保证剪去的三角形的面积最大，要想使得剪去得每 一个三角形的面积最大，只要保证等腰直角三角形斜边最大即可，所以我们可以这样去剪： 1、以最长的边为斜边构造等腰直角三角形 以BC为斜边作等腰直角三角形EBC，此时三角形的面积为36=9； 2、以最长的边为直角边构造等腰直角三角形 延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，此时三角形的面积为44=8； 3、以最长的边为斜边构造等腰直角三角形 作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，此时三角形的面积为33=4.5； 因为剪去得等腰直角三角形的面积都是当时条件下最大的，所以在矩形ABCD中剪去 ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，是剩余部分面积的最小的. 第 5 页 共 16 页 解析：在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积 的最小=46443633=2.5所以选C 点评：遇到最小值不好求时，我们可以逆向思维，去思索如何剪得到的图形的面积最大， 这也是解题中常用的方法，要在平时多加训练. 4.把线段的最小值转化为点到圆的距离最小型把线段的最小值转化为点到圆的距离最小型 例 4如图 5，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且 满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为（） A.B.2C.D. 分析：如图 5，动点P在以AB为直径的圆上运动，根据点与圆的关系，知道，当O,P， C三点共线时，CP最短. 解析： 因为PBA+PBC=90， PAB=PBC， 所以PBA+PAB=90， 所以APB=90， 所以点P在以AB为直径的圆上，当O,P，C三点共线时，CP最短，因为AB=6,所以OB=3, 因为BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP的最小值为 2，所以选B. 第 6 页 共 16 页 点评： 构造辅助圆， 把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键， 要学会这门技巧. 第 7 页 共 16 页 5.把线段和的最小值转化为对称型把线段和的最小值转化为对称型 例 5如图 6 ，AOB=30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点 P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 分析：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为 MP+PQ+QN的最小值 解析：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为 MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60， 所以ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，所以NOM=90， 所以在 RtMON中，MN=.所以应该填： 点评：根据轴对称的定义，找到线段和最小时对应的相等的线段，是解题的关键. 第 8 页 共 16 页 6.把线段的最小值转化为平方和最小型把线段的最小值转化为平方和最小型 例 6如图 7，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB 为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为. 分析：如图 7，过点C作CEAB，垂足为E, 过点D作DFAB，垂足为F, 过点D作 DGCE，垂足为G,根据三角形APC和三角形APD都是等边三角形，利用等腰三角形的三 线合一的性质，得到EF=DG=5，这样=+，DG是定值，所以也是定值，所 以的大小，就取决于的大小，的大小取决于CG的大小，当CG最小时，取的 最小值，从而CD取的最小值，根据图形的特点，知CG=0 时，CD最小，此时=， 也即是CD=DG=EF，所以CD的最小值为 5. 解析：CD的最小值为 5. 点评：构造直角三角形，把线段的最小值转化成线段平方的最小值时解题的关键所在，根 据条件，可以适时选用. 第 9 页 共 16 页 7.把圆半径的最小值转化为平方和相等型 例 7如图 8 是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l是它的对称轴，能完 全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm. 分析：根据对称性，知道覆盖圆的圆心一定在直线l上，且圆心到点B，点A的距离一定 相等，这样我们就可以利用半径相等，借助勾股定理建立起等式，求的最小的半径. 解析：设圆心为O，OD=x，则OC=70-x，根据勾股定理，得，解 得x=40,所以圆的半径为 50mm. 点评：根据对称性，假定圆心，利用勾股定理建立等式求解是解题的关键. 第 10 页 共 16 页 8.把线段的最小值转化为平行线间的距离型把线段的最小值转化为平行线间的距离型 例 8如图 9，在ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与 AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和 是（） A.6B.2+1C.9D. 分析：要想求最值的和，首先要结合的问题确定PQ的最大值在什么位置上取的，最小值 在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到. 解析：如图 9， 当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D， 连接OD， 则ODAC， 因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BCAC， 所以ODBC， 因为OA=OB， 所以OD是三角形ABC的中位线， 所以AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2, 所以线段PQ的最大值为PQ=10-2=8； 过点O作ONBC，交半圆于点M，过点M作GHBC,所以当点Q与点M重合，点P 第 11 页 共 16 页 与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,所以线段PQ的最小值 为PQ=1； 所以PQ的最大值与最小值的和为 8+1=9，所以选C. 点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题关键. 第 12 页 共 16 页 9.把线段的最大值转化为二次函数最值型把线段的最大值转化为二次函数最值型 例 9如图 10，抛物线 y=3x+与x轴相交于A、B两点，与 y 轴相交于点C，点 D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作 y 轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标 分析：第一问：利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直 线BC的解析式；第二问：设点D的横坐标为m，则点D的坐标为（m，），E点 的坐标为（m,n），则DE两点间的距离为d=n-()，从而把线段的最值转化成关于 横坐标m的二次函数的最值加以求解. 解析：（1）因为抛物线 y=x3x+与x轴相交于A、B两点，与 y 轴相交于点C，令 y=0，可得x=或x=,所以点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0）， 令x=0，则 y=,所以点C的坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b， 则有，解得：，所以直线BC的解析式为 y=-x+； （2） 设点D的横坐标为m， 则点D的坐标为 （m，） ，E点的坐标为 （m, -m+） ， 因为点D是直线BC下方抛物线上一点，设DE之间的距离为d， 第 13 页 共 16 页 则DE两点间的距离为d= (-m+)-()=-，因为a=10， 所以当m=-=-=，=-，所以D点的坐标为（，-）. 点评：设出D的坐标，利用平行 y 轴直线上两点之间的距离等于两点纵坐标的差的绝对 值，把线段的最值转化成二次函数最值是解答的关键 10.把线段的最小值转化为点与圆的关系定理型把线段的最小值转化为点与圆的关系定理型 例 10如图 11，菱形ABCD的边AB=8，B=60，P是AB上一点，BP=3，Q是CD 边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小时，CQ 的长为（） A. 5B. 7C. 8D. 分析：当点Q在运动时，不难发现点A的对称点在以P为圆心，PA为半径的圆上， 由BP=3，知道PA=5，连接PC与圆交于点F，由点C是圆P外的一点，根据点与圆的关系 知道，当与点F重合时，CF=C最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ的数值了. 第 14 页 共 16 页 根据图形对称性知：QPA=CPQ，根据菱形的性质，知道：ABCD，所以QPA= CQP， 所以CPQ=CQP，所以CQ=CP.过点C作CEAB，垂足为E，根据三角形ABC是 等边三角形，且AB=8，所以EB=4,AE=4,CE=4,因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形 CEP中，CF=7,所以CQ=。