第一章 二 极限的四则运算法则 三 复合函数的极限运算法则 一 无穷小运算法则 第五节 极限运算法则 一 无穷小运算法则 命题 两个无穷小的和还是无穷小 直观记忆 0 0 0 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 定理1 有限个无穷小之和仍为无穷小 同理可证 三个无穷小之和也是无穷小 用数学归纳法可证 直观记忆 M 0 0 这是一个很有用的性质 常用于极限的计算 回忆一些重要的有界函数 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 4 常见的有界函数 5 注意 也有界 记忆口诀 外函数有界 复合函数必有界 6 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小 注 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 问 无穷大是否有类似的性质 以下命题成立 1 两个无穷大之和也是无穷大 2 两个无穷大的积也是无穷大 3 无穷大与有界函数的和也是 无穷大 4 无穷大与有界函数的乘积也是无穷大 5 无穷大与无穷小的乘积是什么 说不清楚 有各种可能 D P45 第4题 9 定理3 二 极限的四则运算法则 则 若 10 推论 1 推论 2 11 注意 极限的四则运算法则成立的条件为 参与四则运算的各项的极限都存在 定理 4 12 极限的计算 一些基本极限 已经证明或明显的 13 结论 设多项式 则有 14 解 例 2 结论 设有理分式函数 则有 解商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例3 先求其倒数的极限 结论 解 例4 消去零因子法 例5 例5 结论 1 2 3 4 练习 练习1 解 23 解 x 1 时分母 0 分子 0 但因 练习2 24 解 通分练习3 解 原式 练习4 例6 解 抓大头 例6 解 例6 解 30 为非负常数 结论 注 这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项 其他项对结果毫无影响 抓大头 例7 解先变形再求极限 拆项相消 例8 解 利用无穷小的性质 0 三 复合函数的极限运算法则 定理6 34 解 令 则 原式 例9 求 复合函数求导 变量代换 35 练习 求 分母有理化 解 36 练习 解 原式 内容小结 1 极限运算法则 1 无穷小运算法则 2 极限四则运算法则 3 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2 求函数极限的方法 1 分式函数极限求法 时 用代入法 要求分母不为 0 时 对型 约去公因子 时 分子分母同除最高次幂 抓大头 2 复合函数极限求法设中间变量 。