初中数学比赛——轮换式和对称式适用文档第 2 讲 轮换式和对称式知识总结概括一．根本轮换式：〔 1〕 xy z〔 2〕 x2y2z2〔 3〕 xyyzzx〔 4〕 x3y3z3〔 5〕 x2 y y2 z z2 x〔 6〕 xy2yz2zx2〔 7〕 xyz二．齐次轮换式：〔 1〕一次齐次轮换式 ： l ( xyz)〔 2〕二次齐次轮换式 ： l ( x2y2z2 )m( xyyzzx)〔 3〕三次齐次轮换式 ： l ( x3y3z3 )m( x2 yy2 zz2 x) n( xy2yz2zx2 ) kxyz以上 l、 m、n、k 都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：第一，把它当作一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；而后，依据轮换式的特色，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其他的因式 .非齐次轮换式能够先依据次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解特别的轮换式可能有更简单的方法，不必定非用一般的方法去分解 .对于 x、y 的多项式xy, xy, x2y2 , x3y3 , x2 yxy2 ,L在字母 x 与 y 交换时，保持不变，这样的多项式称为x、y 的对称式 。
近似的，对于 x、 y、z 的多项式x y z, xy, x2y2z2 , xy yzzx, x3y3z3 , xyz, x2 yx2 z y2 z y2 x z2 x z2 y,L文案大全适用文档在字母 x、y、z 中随意两字交换时，保持不变 . 这样的多项式称为 x、y、z 的对称式 .对于 x、y、 z 的多项式x y z, xy, x2y2z2 , xyyz zx, x3y3z3 , xyz, x2 yy2 z z2 x,L在将字母 x、 y、z 轮换〔马上 x 换成 y ， y 换成 z ， z 换成 x 〕时，保持不变 . 这样的多项式称为x、y、 z 的轮换式 明显，对于 x、y、z 的对称式必定是x、y、z 的轮换式 . 可是，对于x、y、z 的轮换式不必定是x、y、 z 的对称式 . 比如 x2 y y2 zz2 x 就不是对称式 .两个轮换式 ( 对称式 ) 的和、差、积、商〔假设被除式能被除式整除〕仍旧是轮换式〔对称式〕轮换式与对称式反应了数学的美 . 它们的因式分解也是有条不紊的，能够依据必定的规律去做。
典型例题一 . 典型方法【例 1】 分解因式： x2 ( y z) y2 ( z x) z2 ( x y) .【例 2】 分解因式： a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) .【例 3】 分解因式： (a b c)3 (b c a)3 (c a b) 3 ( a b c)3 .文案大全适用文档【例 4】 分解因式： x3 y3 z3 x2 ( y z) y2 ( z x) z2 ( x y) 2xyz .【例 5】 分解因式： x2 y y2 z z2 x xy2 yz2 zx2 3xyz .二 . 齐次与非齐次【例 6】 分解因式： ( y z) 5 ( z x)5 (x y)5 .【例 7】 分解因式： ( y2 z2 )(1 xy)(1 xz) ( z2 x2 )(1 yz)(1 yx) ( x2 y2 )(1 zx)(1 zy) .文案大全适用文档三 . 公式 a3 b3 c3 3abc【例 8】 分解因式：333.abc 3abc【例 9】 分解因式： (a b c)3 (b c a)3 (c a b) 3 3(a b c)(b c a )(c a b) .四 . 综合提升【例 10】分解因式： a5 b5 (a b)5 .【例 11】证明： a4 (b 2c2a 2 ) 3b 4 ( c2a 2b 2 ) 3c4 ( a2b2c2 )3 能被a4b 4c42a 2b22b2 c22c2a 2 整除 .文案大全适用文档【例 12】 n 是大于 1 的自然数，证明：( x y z)2 n ( y z)2 n ( z x)2 n ( x y)2 n x2n y2n z2 n能被(x y z) 4 ( y z)4 (z x) 4 ( x y) 4 x4 y4 z4整除 .【例 13】分解因式： (b c) 3 (b c 2a ) (c a )3 (c a 2b) ( a b )3 (a b 2c) .【例 14】： a3 b3 c3 (a b c) 3 . 求证： a 2n 1 b2 n 1 c2 n 1 (a b c) 2n 1 〔 n 为自然数〕 .文案大全适用文档【例 15】有理数 a 、 b 、 c 知足 1111，求证 ab ，或 bc ，或 c a .abca bc【例 16】求证： x4 ( y z)y4 ( z x)z4 ( x y)1 ( y z)( z x)( x y) .( y z)2( z x)2(x y)22【例 17】求证： abbcca(ab)(bc)(ca ) .abbcca(ab)(bc)(ca)文案大全适用文档【例 18】求证： 4a 2c2( a2b2c2 )24b2 a2(a 2b 2c2 )24c2b 2( a2b2c2 )21616163s(s a)(s b)(sc) ，此中 s1b c) .(a2思想飞腾【例 19】分解因式： (bcd cda dab abc)2 (bc ad )(cd ab)(db ac) .作业1. 分解因式： bc( b c) ca(c a) ab(a b) .文案大全适用文档2 2 2 2 2 22. 分解因式： a b ab a c ac b c bc 2abc .3. 分解因式： ( x y z)3 x3 y3 z3 .4. 分解因式： ( b c)(b c)2 (c a)(c a) 2 ( a b )(a b)2 .5. 分解因式： a(b c)3 b(c a) 3 c(a b) 3 .6. 分解因式： b 2c2 (b c) c2 a2 (c a ) a 2b2 (a b) .文案大全适用文档7. 分解因式： a(b 4 c4 ) b(c4 a4 ) c(a 4 b4 ) .8. 分解因式： a4 (b2c2 ) b 4 ( c2a2 ) c4 ( a2b 2 ) .9. 分。