陈明文北京科技大学应用科学学院E-Mail: mingwenchen@数学物理方程1第二章 分离变量法• 第一节 有界弦的自由振动 • 第二节 有限长杆上的热传导 • 第三节 圆形区域上的拉普拉斯方程 • 第四节 Sturm-Liuville问题 • 第五节 非齐次边界条件和非齐次方程的定解问题2第一节 有界弦的自由振动物理解释：一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动 .3第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解：边界条件怎样变化？左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能 是常数，记为 • 求解的基本步骤4本征值问 题5• 求解的基本步骤第一步回顾：本征值问 题X(x) ：T(t) ：称为本征值称为本征函数 6• 本征值问题• 方程的通解为 可推出只有零解情形 (A) 第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式7其通解为 可推出只有零解。
情形 (B)8情形（C）方程的通解为由边界条件X(0) = 0 推出再由知道为了使必须于是有这样就找到了一族非零解本征值本征函数 9由此，就得到方程 满足边界条件 的变量分离的非零 特解其通解为10T(t)的表达 式本征值和 本征函数回顾第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式11到此得到方程满足边界条件的变量分离的非零特解12第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件把所有特解 叠加起来，并使之满足初始条件， 即取13因此 ，应分别是在[0, L]区间上正弦展开的Fourier级数的系数，即这样，我们就给出了混合问题的形式解14是[0, l]上的正交函数列是[0, l]上的正交函数列分离变量法又称为Fourier级数法15分离变量法的解题步骤小结第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 适合的常微分方程本征 值问 题求解该常微分方程齐次边值问题， 求出全部本征值和本征函数，并求 出相应的 的表达式将所有变量分离形式的特解叠加起来， 并利用初始条件定出所有待定系数。
16物理意义其中• 对任意时刻这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波 ，其振幅随不同的时间而不同17• 对任意一点这表示在任意一点处都作简谐振动节点固有频率18• 驻波其中振 幅频 率初相位本征振动驻波oln = 419例令是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有20故有其中21定解问题的解：22• 弦的拨动23解为24分离变量法的解题步骤小结第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 适合的常微分方程本征 值问 题求解该常微分方程齐次边值问题， 求出全部本征值和本征函数，并求 出相应的 的表达式将所有变量分离形式的特解叠加起来， 并利用初始条件定出所有待定系数25• 其它边界条件的混合问题1两端自由的边界条件解：设得到26现用 遍除各项即得 如果 则则 现确定积分常数 27因此 ，否则方程无解，只有 本征函数 需要考虑 的情形，显然，对上述本征值、本征函数都满足，即取n=0的情形.本征值 28代入T的方程 和其解其中 均为独立的任意常数。
下一步怎么办？29由初始条件得 把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数 一般解为30得到了混合问题的形式解特别地，如果给定了具体的初始条件，则直接计算系数An,Bn一般，小结31其中是一小正数，由初始条件所求问题的解为3233由初始条件得到故所求问题的解为34同类例子 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是 两端自由的均匀杆，它作纵振动研究两端自由棒的自由 棒的纵振动, 即定解问题 35左端点自由、右端点固定的边界条件• 其它边界条件的混合问题236左端点固定、右端点自有的边界条件• 其它边界条件的混合问题33738第二节 有限长杆上的热传导物理解释：一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热 ，左端保持零度，给定杆内的初始的温度 分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻 的温度分布39• 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：40仅讨论 的情况C2是任意常数， 本征值 只有第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式41T(t)的表达式本征值和 本征函数关于 的表达式满足：T(t)42第三步：利用叠加原理写出定解问题的形式解， 利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件 43例44例 定解问题：物理意义：设有一条长为 的导热细杆，密度均 匀，它的侧面是绝热的，沿着杆的侧面没有热源。
在左端点处的温度为零度，而在右端处把热量传给 周围的介质，介质的温度为零杆的初始温度为已 知，求杆内温度的变化规律 45• 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解：边界条件怎样变化？左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能 是常数，记为 46得到本征值问题和47• 求解的基本步骤第一步回顾：X(x) ：T(t) ： 第二步：求解固有值问题和 T(t)48要解这这个固有值问题值问题 ，我们们可以按照的取值值分为为，和三种情形讨论讨论 ，得知必须须取现用下列方法说明，当时只有正的固有值，即将方程两边同乘以，并且从到积分，得49从而 , 记得到通解为任意常数50再代入边值条件或 得到这方程有无穷多个根：5152正交性：从得到53第三步：利用初始条件求得定解问题的解为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件把所有特解 叠加起来，使之满足初始条件，即 取代入初始条件得到从而得到定解问题的解 54• 矩形域上的边值问题散热片的横截面为一矩形[0,a] ×[0,b]，它的 一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持 零度。
求横截面上的稳恒的温度分布55一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热， 圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳 恒状态时圆盘内的温度分布第三节 圆域内的边值问题56ora隐含着的周期边值条 件和原点约束条件57作自变量变换问题转化58演算过程5960第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和 原点约束条件的变量分离形式的解R(r)本征值问题欧拉方程61第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程62第三步：利用叠加原理和边界条件利用边界条件确定系数63圆域内解的Poisson公式64第五节 对非齐次边界条件和 非齐次方程的处理• 对非齐次边界条件的处理 • 叠加原理 • 对非齐次方程的处理65• 对非齐次边界条件的处理将非齐次边界条件化为齐次边界条件66其中w可以取或67• 叠加原理68• 对非齐次方程的处理冲量定理法Fourier级数法69• Fourier级数法满足齐次边界条件正交完备系70预设则有71其中7273• 举例-共振74当 趋向于某个特征频率 ，则有这说明当=k时，对应于第k个特征频 率k的振动元素的振幅随时间的增加而 增大，这种现象称为共振757677直接设形式解代入、确定系数787980818283。