绝对值及其化简绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.求字母的绝对值：① ② ③利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；；（4）；（5），对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．绝对值几何意义当时，，此时是的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．化简绝对值的关键是确定绝对值符号内部分的正负，从而去掉绝对值符号，常用的方法大致有五种类型。
一、根据题设条件例题1 已知，化简例2 设 化简 的结果是（ ） （A） （B） （C） （D） 思路分析 由 可知 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴ 应选（B）． 归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．练1、若，化简.练2、已知，化简.练3、如果并且，化简.练4、已知a、b、c、d满足 且 ，那么 练5、．若 ，则有（ ）A） （B） （C） （D）二、借助教轴 例3 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）． （A） （B） （C） （D） 思路分析 由数轴上容易看出 ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解 原式 ∴ 应选（C）． 归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 练6、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子 化简结果为（ ）． （A） （B） （C） （D） 练7、有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子， 中负数的个数是（ ）． （A）0 （B）1 （C）2 （D）3练8、已知，那么 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于 的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解 令 得零点： ；令 得零点： ，把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当 时, ∴ 原式 ②当 时， ， ∴ 原式 ③当 时， ， ∴ 原式 ∴ 归纳点评 虽然 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练9．化简 练10．设x是实数， 下列四个结论中正确的是（ ）。
（A）y没有最小值 （B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值4. 分式型绝对值化简按符号化简例题4 若均为非零的有理数，求的值练11、若，求的值．练12、已知，且都不等于，求的所有可能值练13、已知是非零整数，且，求的值五．若，则，，的运用练15、若，则的值是 练16若与互为相反数，则的值是 练17、如图， 则= 。
