第五章 定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题. 第1节 定积分的概念与性质1.1 定积分问题举例1.1.1 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数在区间上非负、连续. 由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间中任意插入若干个分点（图5-1） 把分成个小区间 它们的长度依次为 经过每一个分点作平行于轴的直线段, 把曲边梯形分成个窄曲边梯形.在每个小区间上任取一点 以为底、为高的窄矩形近似替代第个窄曲边梯形，，把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值, 即 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积的近似值就越接近曲边梯形面积的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令所以曲边梯形的面积为图5-11.1.2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度是时间间隔上的连续函数, 且计算在这段时间内物体所经过的路程 . 求近似路程: 我们把时间间隔分成个小的时间间隔 , 在每个小的时间间隔内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔内某点的速度, 物体在时间间隔内 运动的路程近似为把物体在每一小的时间间隔内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔内所经过的路程的近似值. 具体做法是: 在时间间隔内任意插入若干个分点 分成个小段 各小段时间的长依次为 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为 在时间间隔上任取一个时刻 以时刻的速度来代替上各个时刻的速度, 得到部分路程的近似值, 即 于是这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程的近似值, 即; 求精确值: 记当时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 1.2 定积分的概念 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数在上有界, 在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间 各小段区间的长依次为在每个小区间上任取一个点作函数值与小区间长度的乘积并作出和. 记,如果不论对怎样分法, 也不论在小区间上点怎样取法, 只要当时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数在区间上的定积分, 记作, 即.其中叫做被积函数, 叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, 叫做积分区间. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为. 变速直线运动的路程为. 说明: (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即. (2)和通常称为f (x)的积分和. (3)如果函数在上的定积分存在, 我们就说在区间上可积. 函数在上满足什么条件时, 在上可积呢？ 定理1 设在区间上连续, 则f (x) 在上可积. 定理2 设在区间上有界, 且只有有限个间断点, 则 在上可积. 定积分的几何意义: 设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的曲边梯形的面积记为.由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：（1）当时，（2）当时，（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有其中分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.图5-2 例1. 利用定义计算定积分. 解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点和小区间长度分别为(i=1, 2,× × ×, n-1), (i=1, 2,× × ×, n) . 取作积分和. 因为, 当时,, 所以.图5-3 例2 用定积分的几何意义求. 解 函数在区间上的定积分是以为曲边, 以区间为底的曲边梯形的面积. 因为以为曲边, 以区间为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以.图5-4例3利用定积分的几何意义，证明.证明 令 ，显然，则由和直线，所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆.如图5-5所示.因为单位圆的面积，所以半圆的面积为.由定积分的几何意义知： .图5-5 1.3 定积分的性质 两点规定: (1)当时, . (2)当时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即. 证明: . 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即. 这是因为. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论的相对位置如何总有等式成立. 例如, 当时, 由于,于是有. 性质4 如果在区间上f (x)º1 则 . 性质5 如果在区间上 f (x)³0, 则(a