一、两弧相等的证明.【知识要点】证明两弧相等，方法多样灵活，一般包括：(1) 找出第三条弧，证明两条弧分别都与这条相等.(2) 利用垂径定理及其推论.(3) 利用平行弦所夹的弧相等来证明.(4) 利用在同圆或等圆中，弧所対应的圆心角、圆周角、弦、弦心距相等來证明.【典型例题】例1.如图1,己知BC为00的直径，AD1BC,垂足为D, BF交AD于E,且AE=BE,求证:AB 二 AF.例2.如图2,己知AB是半圆的直径，过点B作BN垂直弦EF的延长线于N, BN交半圆于点C. 求证:AE=FC・例3.已知:如图3, A是00上的一点，割线PC交00于B、C两点,D是PC上的一点,且PD 是PB和PC的比例中项,PD二PA,连结AD并延长妥&孑手点E.求证：BE二CE.E图3 【针对练习】1.已知：如图4, CF是（DO的直径，CB为（DO的弦，CB的延长线与过点F的00和切线交于点P.若点E为BC上一点，且满足PE2=PB ・PC,连结FE并延长交（DO于点A.求证:BA=AC.图52.如图5,已知00的两条弦AB, CD相交于P, Z1 = Z2,求证:二、弧的倍分问题.【知识要点】证明弧的倍分问题的方法大致冇两种：一是证明长弧所对的鬪心角（或鬪周角）是短弧所 对的圆心角（或圆周角）的几倍.另一种是证明若分成斤等份后，其中的一份少短弧相等.【典型例题】例］.如图7, AB是00的直径,C是00 ±一点,D是BA延长线上一点,CO二CD, DC的延长敷$于E,求证：EB=3CA.例2.已知：如图8, AB是00的直径，C是半径A0上的一点，以C为圆心，0C为半径的图6图7C交00于D,连结DC并延长交于点E.求证：AD二一BE.3 三、圆小线段相等的证法.【知识要点】除了利川三角形、四边形等的有关性质外，证明圆中两条线段相等的方法和定理还有:（1） 圆中等弧所对的弦相等；（2） 圆中等弦心距的弦相等，等弦的弦心距相等；（3） 垂径定理；（4） 切线长定理；（5） 相交两圆的连心线平分公共弦.【典型例题】例1.如图8,在00中，过圆周上一点A作弦AB和AC,且AB二AC, M和N分别为AB及AC的中点,连结MN延长交O0于P、Q两点,求证：PM=NQ.例2.如图11, AB、CD是。
0的弦,M、N分别为AB、CD的中点,且ZAMN二ZCNM,求证：AB=CD.四、圆中角相等的证明【知识要点】根据圆的有关性质定理证明角相等的方法有：（1） 等弧所对的圆心角相等；（2） 同弧或等弧所对的圆周角相等；（3） 弦切角等于所夹的弧所対的圆周角；（4） 闘内两弦的夹角等于其所截相对两弧所对関周角的和; （5） 圆的两割线（或切线）所成的角等于其所截相对两弧所对圆周角的差;（6） 圆内接四边形的外角等于内对角；（7） 圆外一点与圆心的连线平分过这点所引圆的切线的夹角.B如图12,设AB为0的直径,例2.如图13, PA为00的切线，A为切点，从PA的中点B作割线BCD,交圆于C、D,连 结PC、PD分别交圆于E、F,求证：ZAPD二ZEFD.【针对训练】1.如图14, AABC内接于0, BE与（DO相切于点B, D是00上的一点，AD的延长线交BE于E, AB・BE = AECD .求证：BD是ZCBE的平分线.2.如图15, AD是00的切线，D是切点，ABC是00的割线，DE丄A0于E,求证：ZAEB=DZACO. 3.如图16,和OO?内切于点匕 过点P的直线交于点D,交于点E，DA图16与（DO?相切，切点为C，求证：PC平分ZAPD.【作业】1.如图1, AB是。
0的直径，P、Q是AB上两点，且AP二BQ.C、D是上两点，宝®D,图1分别延长CP、DQ交0于M、N,求证：AM=BN.2.已知：如图2,四边形ABCD内接于0,且BD二DC.求证：AD是AABC外角ZCAE的平分图33.如图3, AABC内接于OO, BH是O0的切线，O0的割线HDG分别交BC和AC于点E、F,HEG ED = EH・EF ,求证：ZA=ZCFE. -4.如图4,已知P是0外一点，PA、PB分别切00于点A、B, 0P与AB相交于点珈C为 AB 上一点， 求证：ZOPC=ZOCM.。